Кільце Безу
Кільце Безу (назване на честь французького математика Етьєна Безу) — область цілісності, в якій кожен скінченнопорождений ідеал є головним. З цього визначення випливає, що кільце Безу нетерове тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів, узагальненням яких і є кільця Безу.
Властивості ред.
Цілісне кільце є кільцем Безу тоді і тільки тоді, коли в цьому кільці будь-які два елементи мають найбільший спільний дільник (НСД), що записується у вигляді їх лінійної комбінації. Ця умова означає, що кожен ідеал з двома твірними допускає одну твірну, з чого по індукції виводиться, що кожен скінченнопорождений ідеал є головним. Представлення НСД двох елементів їх лінійною комбінацією часто називають тотожністю Безу. Також в кільці Безу для скінченної кількості елементів визначене найменше спільне кратне.
Для кільця Безу наступні умови еквівалентні:
- — кільце головних ідеалів.
- — нетерове.
- — область з однозначним розкладом (факторіальне кільце).
- задовольняє умові обриву зростаючих ланцюгів головних ідеалів.
- Довільний елемент розкладається в добуток незвідних елементів.
Кільце Безу є цілозамкнутим і його локалізація (тобто кільце часток) знову є кільцем Безу.
Як і для кілець головних ідеалів, скінченнопороджений модуль над кільцем Безу є прямою сумою модуля кручення і вільного модуля.
Приклади ред.
Приклади не нетерових кілець Безу:
- (Helmer, 1940) Кільце функцій, голоморфних на всій комплексній площині.
- Кільце цілих алгебраїчних чисел.
Джерела ред.
- P.M. Cohn, Bezout rings and their subrings [Архівовано 3 березня 2016 у Wayback Machine.], 1967.