Інтерполяція на інтервалі
ред.
Інтерполяція на інтервалі (0,1)
ред.
f(t)
f(0)
f(1)
f'(0)
f'(1)
h 00 ( t ) {\displaystyle \ h_{00}(t)} 1
0
0
0
h 01 ( t ) {\displaystyle \ h_{01}(t)} 0
1
0
0
h 10 ( t ) {\displaystyle \ h_{10}(t)} 0
0
1
0
h 11 ( t ) {\displaystyle \ h_{11}(t)} 0
0
0
1
p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} p 0 {\displaystyle \mathbf {p_{0}} } p 1 {\displaystyle \mathbf {p_{1}} } m 0 {\displaystyle \mathbf {m_{0}} } m 1 {\displaystyle \mathbf {m_{1}} }
Задано початкову точку p 0 {\displaystyle p_{0}} m 0 {\displaystyle m_{0}} t = 0 {\displaystyle t=0} p 1 {\displaystyle p_{1}} m 1 {\displaystyle m_{1}} t = 1 {\displaystyle t=1}
Для кубічного полінома та його похідної
p ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 {\displaystyle \mathbf {p} (t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}} p ′ ( t ) = a 1 + 2 a 2 t + 3 a 3 t 2 {\displaystyle \mathbf {p} \prime (t)=a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}} виразимо коефіцієнти a 0 , a 1 , a 2 , a 3 {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}} p ( 0 ) , p ( 1 ) , p ′ ( 0 ) , p ′ ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {p} (0),\mathbf {p} (1),\mathbf {p} \prime (0),\mathbf {p} \prime (1)}
{ p ( 0 ) = a 0 p ( 1 ) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 p ′ ( 0 ) = a 1 p ′ ( 1 ) = a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 ⇒ { a 0 = p ( 0 ) a 1 = p ′ ( 0 ) a 2 = 3 ( p ( 1 ) − p ( 0 ) ) − 2 p ′ ( 0 ) − p ′ ( 1 ) a 3 = p ′ ( 0 ) + p ′ ( 1 ) − 2 ( p ( 1 ) − p ( 0 ) ) {\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {p} (0)=a_{0}\\\mathbf {p} (1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}\\\mathbf {p} \prime (0)=a_{1}\\\mathbf {p} \prime (1)=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}a_{0}=\mathbf {p} (0)\\a_{1}=\mathbf {p} \prime (0)\\a_{2}=3(\mathbf {p} (1)-\mathbf {p} (0))-2\mathbf {p} \prime (0)-\mathbf {p} \prime (1)\\a_{3}=\mathbf {p} \prime (0)+\mathbf {p} \prime (1)-2(\mathbf {p} (1)-\mathbf {p} (0))\end{cases}}} Підставивши значення полінома та його похідної із таблиці справа, отримаємо чотири базові ермітові поліноми:
Базис для кубічних ермітових сплайнів. h 00 ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 + 1 = ( 1 − t ) 2 ( 1 + 2 t ) h 01 ( t ) = − 2 t 3 + 3 t 2 = t 2 ( 3 − 2 t ) h 10 ( t ) = t 3 − 2 t 2 + t = t ( 1 − t ) 2 h 11 ( t ) = t 3 − t 2 = t 2 ( t − 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}h_{00}(t)&=&2t^{3}-3t^{2}+1&=&(1-t)^{2}(1+2t)\\h_{01}(t)&=&-2t^{3}+3t^{2}&=&t^{2}(3-2t)\\h_{10}(t)&=&t^{3}-2t^{2}+t&=&t(1-t)^{2}\\h_{11}(t)&=&t^{3}-t^{2}&=&t^{2}(t-1)\\\end{matrix}}} Тоді інтерполяційний поліном визначається як лінійна комбінація чотирьох базових:
p ( t ) = h 00 ( t ) p 0 + h 10 ( t ) m 0 + h 01 ( t ) p 1 + h 11 ( t ) m 1 , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {p} (t)=h_{00}(t)\mathbf {p_{0}} +h_{10}(t)\mathbf {m_{0}} +h_{01}(t)\mathbf {p_{1}} +h_{11}(t)\mathbf {m_{1}} ,\qquad t\in [0,1]} Існують такі властивості симетрії:
h 00 ( t ) + h 01 ( t ) = 1 {\displaystyle \ h_{00}(t)+h_{01}(t)=1} h 00 ( t ) = h 01 ( 1 − t ) {\displaystyle \ h_{00}(t)=h_{01}(1-t)} h 10 ( t ) = − h 11 ( 1 − t ) {\displaystyle \ h_{10}(t)=-h_{11}(1-t)} Інтерполяція на інтервалі ( x k , x k + 1 ) {\displaystyle (x_{k}\,,\;x_{k+1})}
ред.
Інтерполяція на цьому інтервалі задається формулою
p ( x ) = h 00 ( t ) p 0 + h 10 ( t ) h m 0 + h 01 ( t ) p 1 + h 11 ( t ) h m 1 , h = x k + 1 − x k , t = ( x − x k ) / h . {\displaystyle \mathbf {p} (x)=h_{00}(t)\mathbf {p_{0}} +h_{10}(t)h\mathbf {m_{0}} +h_{01}(t)\mathbf {p_{1}} +h_{11}(t)h\mathbf {m_{1}} ,\qquad h=x_{k+1}-x_{k},\qquad t=(x-x_{k})/h.} Зв'язок з кривими Без'є
ред.
Чотири базові ермітові поліноми легко виразити через поліноми Бернштейна , що є базисними для кривих Без'є
h 00 ( t ) = ( 1 − t ) 2 ( 1 + 2 t ) = ( 1 − t ) 3 + 3 t ( 1 − t ) 2 = b 0 , 3 ( t ) + b 1 , 3 ( t ) h 01 ( t ) = t 2 ( 3 − 2 t ) = t 3 + 3 t 2 ( 1 − t ) = b 3 , 3 ( t ) + b 2 , 3 ( t ) h 10 ( t ) = t ( 1 − t ) 2 = b 1 , 3 ( t ) / 3 h 11 ( t ) = t 2 ( t − 1 ) = − b 2 , 3 ( t ) / 3 {\displaystyle {\begin{matrix}h_{00}(t)&=&(1-t)^{2}(1+2t)&=&(1-t)^{3}+3t(1-t)^{2}&=&\mathbf {b} _{0,3}(t)+\mathbf {b} _{1,3}(t)\\h_{01}(t)&=&t^{2}(3-2t)&=&t^{3}+3t^{2}(1-t)&=&\mathbf {b} _{3,3}(t)+\mathbf {b} _{2,3}(t)\\h_{10}(t)&=&t(1-t)^{2}&=&&&\mathbf {b} _{1,3}(t)/3\\h_{11}(t)&=&t^{2}(t-1)&=&&&-\mathbf {b} _{2,3}(t)/3\\\end{matrix}}} Тому кубічний сплайн Ерміта з параметрами
( p 0 , p 1 , m 0 , m 1 ) {\displaystyle \mathbf {\left(p_{0},p_{1},m_{0},m_{1}\right)} } аналогічний кубічній кривій Без'є з опорними вершинами
( p 0 , p 1 , p 0 + m 0 3 , p 1 − m 1 3 ) . {\displaystyle \mathbf {\left(p_{0},p_{1},p_{0}+{\frac {m_{0}}{3}},p_{1}-{\frac {m_{1}}{3}}\right)} .} Інтерполяція сплайном
ред.
Інтерполяції набору точок ( x k , p k ) {\displaystyle (x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})} k = 1 , … , n {\displaystyle \ k=1,\ldots ,n} ( x 1 , x n ) . {\displaystyle \ (x_{1},x_{n}).}
Існують декілька способів задання параметрів.
Кінцеві різниці
ред.
Найпростіший спосіб із застосуванням трьох контрольних точок:
m k = p k + 1 − p k 2 ( x k + 1 − x k ) + p k − p k − 1 2 ( x k − x k − 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{2(x_{k+1}-x_{k})}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2(x_{k}-x_{k-1})}}} для індексів k = 2 , … , n − 1 {\displaystyle k=2,\ldots ,n-1}
Кардинальні сплайни
ред.
m k = ( 1 − c ) p k + 1 − p k − 1 2 {\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}} Параметр c ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle c\in (0,1)}
Сплайни Кетмелла — Рома
ред.
m k = p k + 1 − p k − 1 2 {\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}} 
![{\displaystyle \mathbf {p} (t)=h_{00}(t)\mathbf {p_{0}} +h_{10}(t)\mathbf {m_{0}} +h_{01}(t)\mathbf {p_{1}} +h_{11}(t)\mathbf {m_{1}} ,\qquad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea37ce43183b72d3917aa76eadf1324d4e10139)
