Крите́рій добутків — один з критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності. Умовами невизначеності вважається ситуація, коли наслідки прийнятих рішень невідомі, і можна лише приблизно їх оцінити. Цей критерій застосовується тільки тоді, коли множина станів є скінченною.
Множина оптимальних альтернатив визначається так:
X
o
p
t
=
a
r
g
max
x
∈
X
∏
s
∈
S
ω
(
x
,
s
)
,
(
1
)
{\displaystyle X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{\mathit {x\in X}}} \prod _{s\in S}\omega (x,s),\;\mathrm {(1)} }
де
ω
(
x
,
s
)
=
u
(
x
,
s
)
{\displaystyle ~\omega (x,s)=u(x,s)}
u
(
x
,
s
)
>
0
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle ~u(x,s)>0,\forall \;x\in X}
∀
s
∈
S
,
(
2
)
{\displaystyle ~\forall \;s\in S,\;\mathrm {(2)} }
u
(
x
,
s
)
{\displaystyle \;u(x,s)}
X
×
S
{\displaystyle X\times S}
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
Якщо умова
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {(2)} }
ω
(
x
,
s
)
=
u
(
x
,
s
)
−
min
x
∈
X
min
s
∈
S
u
(
x
,
s
)
+
λ
,
λ
>
0.
(
3
)
{\displaystyle ~\omega (x,s)=u(x,s)-\mathrm {\min _{\mathit {x\in X}}\;\min _{\mathit {s\in S}}} \;u(x,s)+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(3)} }
У скінченновимірного випадку, якщо
U
=
[
u
k
j
]
M
×
N
{\displaystyle \mathbf {U} =[u_{kj}]_{M\times N}}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
X
o
p
t
=
a
r
g
max
x
k
,
k
=
1
,
M
¯
∏
j
=
1
N
ω
x
j
,
(
4
)
{\displaystyle X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \prod _{j=1}^{N}\omega _{xj},\;\mathrm {(4)} }
де
ω
k
j
=
u
k
j
{\displaystyle ~\omega _{kj}=u_{kj}}
u
k
j
>
0
,
∀
k
=
1
,
M
¯
{\displaystyle ~u_{kj}>0,\forall \;k={\overline {1,M}}}
∀
j
=
1
,
M
¯
.
(
5
)
{\displaystyle ~\forall \;j={\overline {1,M}}.\;\mathrm {(5)} }
Якщо умова
(
5
)
{\displaystyle \mathrm {(5)} }
ω
k
j
=
u
k
j
−
min
k
=
1
,
M
¯
min
j
=
1
,
N
¯
u
k
j
+
λ
,
λ
>
0.
(
6
)
{\displaystyle ~\omega _{kj}=u_{kj}-\mathrm {\min _{{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}\;\min _{{\mathit {j}}={\overline {1,{\mathit {N}}}}}} \;u_{kj}+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(6)} }
U
=
[
4
1
5
4
6
7
8
3
9
1
2
4
]
.
{\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.}
P
=
[
0.1
0.3
0.6
0
0.2
0.5
0
0.3
0.6
0.2
0.2
0
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}0.1&0.3&0.6&0\\0.2&0.5&0&0.3\\0.6&0.2&0.2&0\\\end{bmatrix}}.}
W
=
(
ω
k
j
)
3
×
4
=
[
4
1
5
4
6
7
8
3
9
1
2
4
]
.
{\displaystyle \mathbf {W=(\omega _{\mathit {kj}})_{\mathit {3\times 4}}} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.}
Нехай
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
X
o
p
t
(
λ
)
=
a
r
g
max
x
k
,
k
=
1
,
M
¯
{
4
⋅
1
⋅
5
⋅
4
,
6
⋅
7
⋅
8
⋅
3
,
9
⋅
1
⋅
2
⋅
4
}
=
a
r
g
max
x
k
,
k
=
1
,
M
¯
{
80
,
1008
,
72
}
=
{
x
2
}
{\displaystyle X_{opt}(\lambda )=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{4\cdot 1\cdot 5\cdot 4,\;6\cdot 7\cdot 8\cdot 3,\;9\cdot 1\cdot 2\cdot 4\}=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{80,\;1008,\;72\}=\{x_{2}\}\;}
![{\displaystyle \mathbf {U} =[u_{kj}]_{M\times N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeff375c2624b2f53ccdbf20d488773ef329c63a)
