Кратність (математика)

Кратність (термін) — це властивість, яка показує, скільки разів одне число можна поділити на інше без залишку. Наприклад, якщо ми беремо число 3, кожне число, яке можна отримати, помноживши 3 на інше натуральне число (наприклад, можна отримати 3, 6, 9, 12 і т. д.), буде кратним числу 3, оскільки вони діляться на нього без залишку.

Важливо відзначити, що будь-яке натуральне число має нескінченну кількість кратних. Найменшим кратним числа є саме це число, але найбільше кратне числа не можна визначити, оскільки кратні можуть бути нескінченно великими.

Кратність простого множника

При розкладені на прості множники, кратність простого множника — це його $p$-адичний порядок. Наприклад, простий множник цілого числа 60 є

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

кратність простого множника 2 дорівнює 2, тоді як кратність кожного з простих множників 3 і 5 дорівнює 1. Таким чином, 60 має чотири прості множники з урахуванням кратності, але лише три різні прості множники.

Кратність кореня многочлена

Нехай $F$ — поле, а $p(x)$ — поліном від однієї змінної із коефіцієнтами у $F$. Елемент $a\in F$ є коренем кратності $k$ для $p(x)$, якщо існує такий поліном $s(x)$, що $s(a)\neq 0$ і $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$. Якщо $k=1$, то $a$ називається простим коренем. Якщо $k\geqslant 2$, то $a$ називається кратним коренем порядку $k$ або коренем кратності $k$.

Наприклад, поліном $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ має корені 1 і −4, і його можна записати як $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$. Це означає, що 1 є коренем кратності 2, а −4 є простим коренем (кратності 1). Кратність кореня — це кількість входжень цього кореня при розкладенні полінома на множники відповідно до основної теореми алгебри.

Якщо $a$ є коренем кратності $k$ якогось поліному, то він буде коренем кратності $(k-1)$ для похідної цього полінома, якщо тільки характеристика основного поля не є дільником k, у такому випадку $a$ є коренем з кратність принаймні $k$ для похідної цього полінома.

Дискримінант полінома дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли поліном має кратний корінь.

Поведінка поліноміальної функції поблизу кратного кореня

Графік функції y=x³ + 2x² − 7x + 4 має простий корінь (кратність 1) у точці x=−4 та корінь кратності 2 у точці x=1. Графік перетинає вісь x у точці з простим коренем — x=−4. При цьому у точці з коренем кратності 2 графік є дотичним до вісі x, але не перетинає її, оскільки кратність цього кореня є парним числом.

Графік поліноміальної функції f перетинає або торкається осі x у тих точках, де є корені полінома. Якщо корінь полінома є кратним, графік є дотичним до осі x, якщо корінь є простим, то графік f не торкається осі у цій точці x. Графік перетинає вісь x в коренях з непарною кратністю і не перетинає її в коренях з парною кратністю.

Ненульова поліноміальна функція завжди невід'ємна тоді і тільки тоді, коли всі її корені мають парну кратність і існує $x_{0}$ такий, що $f(x_{0})>0$.

Кратність розв'язку нелінійної системи рівнянь

Рівняння $f(x)=0$ має розв'язок лише для одного значення змінної — $x_{*}$ кратності $k$, якщо

$f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0$ і $f^{(k)}(x_{*})\neq 0.$

Іншими словами, диференціальний функціонал $\partial _{j}$, визначений як похідна ${\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}$ функції у точці $x_{*}$, обертається в нуль в $f$ для $j$ від 1 до $(k-1)$. Ці диференціальні функціонали $\partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}$ охоплюють векторний простір, який називається двоїстим простором Маколея в $x_{*}$, а його розмірність дорівнює кратності $x_{*}$ як нуля $f(x)$.

Нехай $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ — система $m$ рівнянь із $n$ змінними з розв'язком $\mathbf {x} _{*}$, де $\mathbf {f}$ є відображенням $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ або $\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$. Існує також подвійний простір Маколея диференціальних функціоналів в $\mathbf {x} _{*}$, в якому кожен функціонал обертається у нуль $\mathbf {f}$. Розмірність цього дуального простору Маколея є кратністю розв'язку $\mathbf {x} _{*}$ рівняння $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$. Двоїстий простір Маколея формує структуру кратності розв'язку системи.

Наприклад, $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$ буде розв'язком системи рівнянь $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$, де

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]$

Цей корінь має кратність 3, оскільки двоїстий простір Маколея

$span\{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}$

має розмірність 3, де $\partial _{ij}$ позначає диференціальний функціонал ${\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}}}$, застосований до функції $\mathbf {f}$ в точці $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$.

Кратність завжди скінченна, якщо розв'язок є ізольованим, є інваріантною до зміни параметрів у тому сенсі, що $k$-кратний розв'язок стає кластером розв'язків із сумарною кратністю $k$ під час зміни параметрів у комплексних просторах і тотожна кратності перетину для поліноміальних систем.

Кратність перетину

В алгебраїчній геометрії перетин двох підмноговидів алгебраїчної множини є скінченним об'єднанням нерозкладних множників. Кожній складовій такого перетину приписується «множина кратності». Це поняття є локальним у тому розумінні, що його можна визначити, розглядаючи події в околі будь-якої загальної точки цієї складової. З цього випливає, що без втрати загальності ми можемо розглядати, для визначення множинної кратності перетину, перетин двох афінних многовидів (підмноговидів афінного простору).

Таким чином, маючи два афінних многовиди V₁ і V₂, розглянемо нерозкладну складову W перетину з V₁ і V₂. Нехай d — розмірність W, а P — будь-яка загальна точка W. Перетин W з гіперплощиною d в загальному положенні, яка проходить через P, має нерозкладену складову, яка зводиться до однієї точки P . Отже, локальне кільце в цій компоненті координатного кільця перетину має лише один простий ідеал, і тому є кільцем Артіна. Це кільце є кінцево-вимірним векторним простором над базовим полем. Його розмірність — це множинна кратність перетину V₁ і V₂ у W.

Це визначення дозволяє нам точно сформулювати теорему Безу та її узагальнення.

Наведене визначення узагальнює кратність кореня полінома наступним чином. Корені полінома f — це точки на афінній прямій, які є компонентами алгебраїчної множини, заданої многочленом. Координатне кільце цієї афінної множини має вигляд $R=K[X]/\langle f\rangle ,$ де K — алгебраїчно замкнуте поле, що містить коефіцієнти f. Якщо $f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}$ — розкладення полінома f, тоді локальне кільце R відносно простого ідеалу буде $\langle X-\alpha _{i}\rangle$ є $K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .$ Це векторний простір над K, розмірність якого відповідає кратності $m_{i}$ кореня.

Це визначення кратності перетину, яке, по суті, належить Жан-П'єр Серру, описане у його книзі «Локальна алгебра», працює лише для теоретико-множинних компонент (також їх називають «ізольованими компонентами») перетину, а не для вбудованих компонент. Були розроблені теорії для роботи з вбудованими компонентами (див. Теорія перетинів для більш детальної інформації).

У комплексному аналізі

Нехай z₀ є коренем голоморфної функції f, а n — найменше додатне ціле число таке, що n-та похідна f, обчислена як z₀, відрізняється від нуля. Тоді ряд Лорана для функції f в околі точки z₀ починається з n-го члена, і кажуть, що у функції f є корінь кратності (або «порядку») n.

Якщо n=1, то корінь називається простим.

Ми також можемо визначити кратність нулів та полюсів мероморфної функції. Якщо у нас є мероморфна функція ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ де g і h — це функції, візьмемо ряди Тейлора g і h в околі точки z₀, і знайдемо перший ненульовий член у кожному з них (позначимо порядок цих членів як m і n відповідно). Якщо m=n, то точка має ненульове значення. Якщо $m>n,$ точка є нулем кратності $m-n.$ Якщо $m<n$, то точка має полюс кратності $n-m$.

Див. також

• Найменше спільне кратне
• Найбільший спільний дільник

Джерела

• Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)