Користувач:NAME XXX/Пісочниця

Квантова теорія поля
Діаграма Фейнмана
Історія
Підґрунтя Теорія поля Калібрувальна інваріантність Симетрія Пуанкаре Квантова механіка Спонтанне порушення симетрії
Симетрії Зарядове спряження Кросинг Парність Часове обернення Симетрія в квантовій механіці
Інструменти Аномалія Ефективна теорія поля Вакуумне очікуване значення Духи Фаддєєва — Попова Діаграми Фейнмана Калібрувальна теорія поля на ґратці Теорема ЛСЦ Корелятор Пропагатор Квантування Регуляризація Перенормування вакуумний стан Теорема Віка Аксіони Вайтмана
Рівняння Рівняння Дірака Рівняння Клейна — Ґордона Рівняння Прока Рівняння Вілера — Девітта Рівняння Баргманна — Вігнера
Стандартна модель Електрослабка взаємодія Механізм Гіґґза Квантова хромодинаміка Квантова електродинаміка Поля Янга-Міллса
Незавершені теорії Квантова гравітація Теорія струн Суперсиметрія Техніколор Теорія всього
Науковці К. Д. Андерсон Ф. Андерсон Бете Бйоркен Боголюбов Каллан Коулман Девітт Дірак Дайсон Англер Фермі Фейнман Фірц Фок Фреліх Ґлешоу Гелл-Манн Гайзенберг Хіґс Гаг Гейген 'т Гофт Кобаясі Лемб Ландау Лі Майорана Маскава Міллс Намбу Нісідзіма Поляков Салам Швінгер Ворд Вайнберг Вейль Вільсон Янґ Юкава

Аномалією у квантовій теорії поля називається явище принципового порушення симетрії, притаманної класичній теорії, у відповідній квантовій теорії. Історична назва аномалії походить того, що аномалія порушує очікуваний із класичної фізики "нормальний", класичний закон збереження.

Аномалії мають важливе значення як з точки зору теоретичної фізики, так і експериментальної; причиною цього є, зокрема, їх незалежність від масштабу (у одиницях енергії), на якому розглядається теорія; іншою причиною є те, що вони можуть бути досліджені без детального вивчення динаміки теорії, у якій вони виникають $\ {\text{Harvey}}$. Як приклад застосувань аномалії (див. нижче) з точки зору теоретика, умова незалежності теорії від калібрувальних аномалій має лежати в основі будь-якої квантової теорії поля; з іншого боку, з точки зору феноменолога та експериментатора, явища, що зумовлюються іншими класами аномалій, призводять до широкого класу спостережуваних явищ, наприклад, роблять можливим конфайнмент у квантовій хромодинаміці та призводять до розпаду $\ \pi ^{0}$-мезону на два фотони.

Причина порушення класичних симетрій у квантовій теорії поля

Класичні симетрії

Симетрія - деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Наприклад, у класичній механіці спостережуваною величиною може бути число частинок, а у квантовій механіці - густина ймовірності. Зокрема, у лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) у теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів. Зокрема, глобальна (не залежить від просторово-часових координат) симетрія теорії відносно зсуву часової координати має наслідком закон збереження енергії, просторової - імпульсу, і т.д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема - локальні (що залежать від просторово-часових координат) фазові перетворення, що відповідають закону збереження електричного заряду. У лоренц-інваріантному вигляді цей закон виражається у термінах 4-струму $\ J_{\mu }$ як

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0$

Квантова аномалія симетрії

Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля $\ \Phi$ довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем $\ A_{\mu }$. В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції $\ \Phi ^{\dagger }(x)\Phi (x)$ полів (див. наприклад, випадок скалярного поля). Відповідно, і струми $\ J_{\mu }$ є білінійними функціями полів.

Наївна квантова теорія може бути отримана із класичної шляхом відповідності $\ \Phi \to {\hat {\Phi }}$, $\ A_{\mu }\to {\hat {A}}_{\mu }$, тобто, поля стають операторами; відповідно, $\ J_{\mu }\to {\hat {J}}_{\mu }$, і наївний квантовий закон збереження струму має вигляд

$\ \partial _{\mu }\langle |{\hat {J}}^{\mu }|\rangle =0,\qquad (1)$

де $\ \langle |...|\rangle$ - квантове середнє.

Така проста картина може порушуватись внаслідок відсутності перестановності полів $\ {\hat {\Phi }}$. А саме, у залежності від того, являється поле $\ \Phi$ бозонним чи ферміонним, для операторів $\ {\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}$ народження та знищення, лінійною комбінацією яких є поле $\ {\hat {\Phi }}$ є справедливим комутаційне співвідношення типу

$\ {\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'})\mp {\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'}){\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )=\hbar \delta _{\sigma \sigma {'}}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} {'})$

(тут $\ \sigma$ - дискретне число типу поляризації). Це означає, що поля не є перестановними; зокрема, для спінорного поля, що представляє частинки типу електронів, справедливою є рівність

$\ {\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t){\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t)+{\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t){\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t)=\hbar \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} {'})$,

де у правій частині рівності стоїть $\ \delta -$функція Дірака.

Внаслідок цього будь-яка білінійна функція квантових полів є погано визначеною (формально містить нескінченну частину), а отже, погано визначеними стають і заряди. У квантовій теорії поля існує формальна процедура, яка довизначає величини типу білінійних форм так, щоб вони були добре визначеними. Вона включає в себе регуляризацію та перенормування основних величин теорії - (для перенормовних теорій - полів, зарядів та мас). Проте у загальному випадку довільна регуляризація може зруйнувати закон збереження $\ (1)$ струму, оскільки вона модифіковує дію так, що втрачається властивість інваріантності відносно перетворення симетрії. Якщо регуляризація, що зберігає дану симетрію, не може бути знайдена, і, більше того, закон збереження не відтворюється навіть після перенормування (зняття регуляризації), то струм $\ {\hat {J}}$ у квантовій теорії не зберігається:

$\ \partial _{\mu }\langle |{\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}[\Phi ]|\rangle =F^{\text{...}}[\Phi ]\neq 0\qquad (2)$,

(тут три крапки позначають можливі інші векторні індекси) - кажуть, що симетрія є аномальною. Рівняння $\ (2)$ називається аномальним законом збереження струму $\ {\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}$, а функція $\ F$ - функцією аномалії.

Аномалія у різних підходах квантової теорії поля

Існує декілька еквівалентних підходів побудови квантової теорії поля. Історично першим був підхід, заснований на концепції моря Дірака. За ним слідував операторний підхід, а за ним — підхід континуального інтегралу. Аномалія, звісно, може бути описана у кожному із цих підходів.

Зокрема, кіральна аномалія у морі Дірака виникає внаслідок розщеплення рівнів Фермі для безмасових ліво-кіральних та право-кіральних ферміонів при включенні зовнішнього поля, внаслідок чого густина станів для лівих та правих ферміонів моря Дірака змінюється по-різному. Море Дірака еквівалентне вторинному квантуванню, що є основою операторного підходу; у операторному підході кіральна аномалія виникає внаслідок відсутності кірально-інваріантної регуляризації, яка водночас зберігає унітарність. Нарешті, гайзенбергівські функції Гріна у операторному підході, які є основою непертурбативного підходу до квантової теорії поля, еквівалентні континуальному інтегралу; у підході континуального інтегралу аномалія виникає внаслідок неінваріантності міри континуального інтегрування відносно кірального перетворення.

Аномалія та спонтанне порушення симетрії

Поняття аномалії варто відрізняти від поняття спонтанного порушення симетрії. Остання полягає у порушенні симетрії на рівні розв'язків рівнянь руху, а симетрія фундаментальної теорії залишається непорушеною; аномалія же порушує симетрію на рівні законів збереження (які виконуються незалежно від рівнянь руху). Із останньою також пов'язаний специфічний масштаб, який асоціюється із температурною шкалою, вище за яку симетрія являється непорушеною, а нижче якої спонтанно порушується; зокрема, для основного стану надпровідника аномальна функція Горькова, яка порушує електромагнітну калібрувальну інваріантність у його товщі, пропорційна до конденсату куперівських пар, який є ненульовим лише при температурах, що нижчі за температуру фазового переходу другого роду. Аномалія же являється масштабно-інваріантною: симетрія явно порушена на усіх масштабах.

Приклади аномалій

Масштабна аномалія

Розглянемо теорію із полями $\ \Phi$, яка дається лагранжіаном $\ L$, що залежить лише від безрозмірних параметрів - констант зв'язку $\ \alpha$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних перетворень

$\ \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)$,

де $\ \sigma$ — канонічна розмірність поля $\ \varphi$ у енергетичних одиницях $\ c=\hbar =1$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для $\ \Phi$.

Це призводить, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму

$\ \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }$,

який зберігається:

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (3)$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану $\ {\hat {L}}({\hat {\Phi }})$, закон збереження $\ (3)$ явним чином порушується. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу $\ \mu$, від якого починає залежати константа зв'язку $\ \alpha$; окрім того, через взаємодію змінюється канонічна розмірність поля $\ \Phi$ у порівнянні із вільною теорією. У результаті закон збереження $\ (3)$ порушується. Зокрема, у безмасовій квантовій хромодинаміці він має вигляд

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$,

де $\ G_{\mu \nu }^{a}$ — тензор напруженості глюонного поля, $\ \beta (g)={\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}$ — бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія порушується на квантовому рівні. Це називається масштабною аномалією.

Кіральна аномалія

Кіральна симетрія та її порушення регуляризацією

Розглянемо теорію безмасових ферміонів $\ \psi$, що взаємодіють із калібрувальним полем $\ A_{\mu }$, яка дається лагранжіаном $\ L=L(\Psi ,A_{\mu })$ (наприклад, квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального кірального перетворення

$\ \psi \to e^{i\gamma _{5}\alpha }\psi \qquad (4)$,

де

$\ \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$

- кіральна матриця, $\ \gamma _{\mu },\mu =0,3$ — матриці Дірака, $\ \alpha$ — у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належать поля $\ \psi$.

Відповідний нетерівський струм має вигляд

$\ J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (5)$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення $\ (4)$? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема, регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до $\ d$, модифікує антикомутатор

$\ [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d$

який у класичній теорії є в точності нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження $\ (5)$ порушується. Таке порушення називається кіральною аномалією.

Кіральна аномалія

Розглянемо тепер більш загальну теорію, що містить ферміони, які мають ненульові заряди відносно даної калібрувальної групи $\ G$ (але, можливо, не утворюють деяке представлення цієї групи). Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії $\ {\text{SU}}_{L}(2)$. Розглянемо квантовий корелятор

$\ \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left(J_{\mu }^{a}(x)J_{\nu }^{b}(y)J_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (6)$,

де $\ J_{\mu }^{a}$ — струм, що зберігається,

$\ J_{\mu }^{a}=-i{\bar {\Psi }}T_{a}\gamma _{\mu }\Psi$,

$\ \Psi$ — стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, $\ T_{a}$ — генератор симетрії.

Похідна $\ {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму $\ J_{\mu }^{a}(x)$ на рівні трикутних діаграм . Аномалія міститься у тій частині корелятора $\ (6)$, що пропорційна величині

$\ D_{abc}\equiv {\text{Tr}}[[T_{a},T_{b}]_{+}T_{c}]\qquad (7)$

($\ []_{+}$ позначає антикомутатор).

Є три можливості занулення коефіцієнтів $\ D_{abc}$ .

• Перша можливість криється у тому, що генератори $\ T_{a},T_{b},T_{c}$ відповідають дійсному або псевдодійсному представленню деякої групи $\ G$;

• Другою можливістю є те, що поля струмів $\ J_{\mu }^{a}$ реалізують певне (звідне чи незвідне) представлення групи;

• Нарешті, третьою можливістю є те, що заряди полів відносно представлення груп підібрані так, щоб у загальному випадку ненульові коефіцієнти $\ D_{abc}$ прийняли нульове значення.

У залежності від того, якій групі (глобальній чи калібрувальній) належать індекси $\ a,b,c$, розрізняють три типи кіральної аномалії: калібрувальна, аксіальна та внутрішня.

Як виявляється, вираз $\ (6)$ містить повну інформацію про кіральну аномалію, оскільки вклад у аномальний закон збереження вносить лише однопетльова діаграма.

1. Калібрувальна аномалія

Якщо індекси $\ a,b,c$ струмів $\ J$ відповідають індексам калібрувальної групи $\ G$ (наприклад, струм $\ J_{\mu }^{a}\equiv J_{\mu }$ - електромагнітний струм тощо), тобто, струми $\ J$ взаємодіють із калібрувальними полями, і величина $\ (7)$ не дорівнює нулю, то калібрувальні струми не зберігаються:

$\ \left(\partial _{\mu }J_{\text{gauge}}^{\mu }\right)_{a}=-{\frac {1}{32\pi ^{2}}}D_{abc}F_{\mu \nu }^{b}{\tilde {F}}_{c}^{\mu \nu },\qquad (8)$

де $\ F_{\mu \nu }$ — тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (8)$ є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії являється порушеною. Це, у свою чергу, призводить до порушення унітарності теорії (збільшується число ступенів вільностей теорії; зокрема, з'являються ступені вільності із від'ємною нормою у гільбертовому просторі), тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від калібрувальних аномалій.

2. Аксіальна аномалія

Нехай тепер індекс $\ a$ відповідає деякій глобальній групі симетрії $\ H$, а $\ b,c$ - індекси калібрувальної групи $\ G$. Тоді, якщо вдається підібрати регуляризацію так, щоб аномалія порушувала лише глобальну симетрію, маємо аномальний закон збереження лише глобального струму:

$\ \left(\partial _{\mu }J_{\text{global}}^{\mu }\right)_{a}=-{\frac {1}{32\pi ^{2}}}D_{abc}F_{\mu \nu }^{b}{\tilde {F}}_{c}^{\mu \nu }\qquad (9)$,

де $\ \alpha ={\frac {g^{2}}{4\pi }}$, $\ F_{\mu \nu }$ — тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (9)$ є рівнянням аксіальної аномалії. Вперше її було досліджено у роботах Адлера, Белла та Яцківа на прикладі аномального розпаду нейтрального пі-мезону у два фотони (див. розділ нижче.

Наприклад, класична глобальна симетрія безмасової хромодинаміки відповідає групі

$\ {\tilde {G}}_{\text{global}}\simeq U_{L}(3)\times U_{R}(3)\simeq G_{\text{global}}\times U_{A}(1),$

де

$\ G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)$

Тут знак "$\ \simeq$" позначає ізоморфізм, знак "$\ \times$" позначає прямий добуток груп, а індекси $\ L/R$ позначають праве та ліве кваркові представлення групи симетрії; група $\ U(3)$ - абелева група, група $\ U_{B}(1)$ - абелева група симетрії баріонного заряду, а групи $\ SU(3)$ - спеціальні унітарні групи.

Група КХД $\ {\tilde {G}}_{\text{global}}$ має аксіальну аномалію для підгрупи $\ U_{A}(1)$ (докладніше див. у розділі про масу $\ \eta {'}-$мезону). Якщо також врахувати електромагнітну взаємодію, то аксіальною стає одна із внутрішніх аномалій глобальної групи КХД, що призводить до аномального розпаду $\ \pi ^{0}-$мезону.

3. Внутрішня аномалія

Розглянемо тепер випадок, коли вираз $\ (6)$ містить лише струми, які не взаємодіють із калібрувальними полями. У загальному випадку вираз $\ D_{abc}$ являється ненульовим. Так відбувається, зокрема, у квантовій хромодинаміці.

Дійсно, глобальною непорушеною групою симетрії $\ u-,d-,s-$кварків є група

$\ G_{\text{global}}\simeq U_{B}(1)\times SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$

Оскільки ця група є кіральною, то коефіцієнти $\ D_{abc}$ не дорівнюють нулю. Утім, закони збереження відповідних кіральних струмів не порушуються, оскільки вони не взаємодіють із калібрувальними полями.

Ненульові коефіцієнти $\ D_{abc}$ у такому випадку називаються внутрішньою аномалією. Про їх роль у теоретичній фізиці - див. нижче розділ про умову відтворення аномалій.

Віттенівська аномалія

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Наслідки аномалій

Аномалія та калібрувальна група Стандартної моделі

Чому електрослабка теорія без кварків несумісна?

Калібрувальна група $\ G$ Стандартної моделі,

$\ G_{\text{SM}}\simeq SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1),$

як унітарної квантової теорії поля, має бути вільною від калібрувальних аномалій. Згідно із розділом про калібрувальну аномалію, це означає, що усі коефіцієнти $\ D_{abc}$ із виразу $\ (8)$, де $\ a,b,c$ пробігають групові індекси, мають бути рівними нулю. Окрім того, мають бути рівними нулю коефіцієнти $\ D_{{\tilde {a}}{\tilde {b}}{\tilde {c}}}$, де $\ {\tilde {a}},{\tilde {b}},{\tilde {c}}$ пробігають групові індекси Стандартної моделі та гравітації (одиничне представлення).

Представлення калібрувальної групи Стандартної моделі не є, власне кажучи, дійсним чи псевдодійсним, і ферміонні поля не реалізовують представлення одразу усієї групи (а лише підгруп). Тому, відповідно до розділу про кіральну аномалію, Стандартна модель може бути вільною від калібрувальних аномалій лише тоді, коли заряди полів підібрані спеціальним чином.

Позначивши груповий індекс $\ a$, що належить підгрупі $\ H$ Стандартної моделі, через $\ H$, маємо, що єдиними можливими аномаліями є

$\ U_{Y}(1)^{3},\quad SU(3)^{2}U_{Y},\quad SU(2)^{2}U_{Y},\quad U_{Y}{\text{Grav}}^{2}\qquad (10)$

Виявляється, що відповідні аномальні коефіцієнти $\ D_{abc}$ принципово не можуть бути рівними нулю, якщо розглядати лише лептони у теорії (або лише кварки), або якщо розглядати число поколінь лептонів, не рівне числу поколінь кварків.

Відповідно, якщо буде знайдене четверте лептонне покоління, це негайно ж призведе до висновку про існування четвертого покоління кварків.

Квантування електричного заряду у Стандартній моделі

Розглянемо умови рівності нулю коефіцієнтів $\ D_{abc}$, що задані співвідношенням $\ (10)$. Вони дають чотири співвідношення на заряди частинок - лептонів та кварків:

$\ (2Y_{L}^{3}-Y_{l}^{3}-Y_{\nu }^{3})+3(2Y_{Q}^{3}-Y_{u}^{3}-Y_{d}^{3})=0,$

$\ 2Y_{Q}-Y_{u}-Y_{d}=0,$

$\ Y_{L}+3Y_{Q}=0,$

$\ (2Y_{L}-Y_{l}-Y_{\nu })+3(2Y_{Q}-Y_{u}-Y_{d})=0$

Тут $\ Y$ - гіперзаряд, $\ Q$ - ліві $\ SU_{L}(2)$ дублети кварків, $\ L$ - ліві дублети лептонів, $\ l,\nu$ - праві синглети лептонів. Гіперзаряди являються лінійними функціями електричних зарядів, тому ці співвідношення накладають обмеження на електричні заряди.

Третя із цих рівностей для $\ L={\begin{pmatrix}e\\\nu _{e}\end{pmatrix}}$, $\ Q={\begin{pmatrix}u\\d\end{pmatrix}}$ (про дублети електрослабкої взаємодії див. статтю про електрослабкі взаємодії) показує, що електрон має мати в точності такий же по модулю, але протилежний за знаком електричний заряд, як і протон (який складається із двох $\ u-$ кварків та одного $\ d-$кварку).

Оскільки, грубо кажучи, уся матерія складається із електронів, протонів та нейтральних нейтронів, це пояснює квантування заряду у термінах заряду електрону. $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Порушення випадкових симетрій Стандартної моделі

Стандартна модель заснована на локальній калібрувальній групі

$\ G\simeq SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$

В силу тих чи інших причин група $\ G$ за побудовою являється вільною від аномалій (див. Теорія всього). У Стандартній моделі існують також глобальні неперервні групи симетрії. Зокрема, існують точні на класичному рівні так звані випадкові симетрії, що відповідають збереженню баріонного та лептонних чисел. Вони відповідають групам

$\ G_{\text{lepton}}\simeq U_{e}(1)\times U_{\mu }(1)\times U_{\tau }(1),\quad G_{\text{baryon}}\simeq U_{B}(1)$

відповідно (тут $\ e,\mu ,\tau$ - лептони). Ці групи симетрії - некіральні, тому, здавалося, квантова аномалія не може порушувати їх. Проте в силу того, що ферміони, які несуть баріонні та лептонні заряди, несуть також заряди кіральної групи $\ SU_{L}(2)$. Внаслідок цього коефіцієнт $\ D_{abc}$, де індекс $\ a$ відповідає групам $\ G_{\text{lepton}}$ чи $\ G_{\text{baryon}}$, а індекси $\ b,c$ - групі $\ SU_{L}(2)$. Внаслідок цього є справедливими такі рівняння аномалії :

$\ \partial _{\mu }J_{B}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu },\quad \sum _{l=e,\mu ,\tau }\partial _{\mu }J_{l}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }\qquad (10)$,

де $\ F$ - тензор напруженості полів групи $\ SU_{L}(2)$.

В силу теореми про індекси, проінтегрована по 4-простору ліва частина, що відповідає різниці баріонних зарядів у далекому минулому та далекому майбутньому, відповідає також різниці лівих та правих нульових ферміонних мод оператору аномалії. З іншого боку, проінтегрована права частина також дорівнює цілому числу в силу нетривіальної гомотопічної групи $\ \pi _{3}(SU(N))$ полів Янга-Міллса (в інтеграл вносять ненульовий внесок лише інстантоноподібні конфігурації). Проінтегрований закон $\ (10)$ тоді має вигляд

$\ \Delta Q_{B}=3n,\quad \sum _{l}\Delta Q_{l}=3n,\quad \Delta Q\equiv Q(t=\infty )-Q(t=-\infty )$,

де $\ Q_{B},Q_{l}$ - баріонний та лептонні заряди відповідно.

Таке незбереження баріонного та лептонного числа роблять принципово можливим баріогенезис та (чи) лептогенезис у рамках Стандартній моделі для раннього Всесвіту.

Розмірнісна трансмутація. Конфайнмент

Як описувалось вище, внаслідок регуляризації у квантовій теорії поля виникає додатковий аномальний внесок у закон збереження дилатаційного струму. Відповідний внесок виникає внаслідок залежності параметрів квантової теорії - констант зв'язку - від масштабного фактору $\ \mu$. Умова незалежності фізичних величин, які у квантовій теорії є функціями від констант зв'язку та (явно) від масштабу $\ \mu$, від цього масштабу може бути сформульована у вигляді рівнянь ренормгрупи.

Зокрема, умовою на константу зв'язку є таке ренормгрупове рівняння

$\ {\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}=\beta (g)$

Його розв'язком є те, що називають біжучою константою зв'язку.

Цю рівність можна переписати у вигляді

$\ {\text{ln}}\left({\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right)=S(g(\mu ))-S(g(\mu _{0}))$

Вираз залежить від константи інтегрування $\ \mu _{0}$. Обираючи цю константу $\ \mu _{0}=\Lambda$ такою, щоб $\ S(g(\Lambda ))=0$, рівність можна записати у вигляді

$\ \alpha (\mu )=S^{-1}\left[{\text{ln}}{\frac {\mu }{\Lambda }}\right]\approx -{\frac {\pi }{|b_{1}|{\text{ln}}\left({\frac {\mu }{\Lambda }}\right)}},$

де було використане головне наближення для бета-функції. Звідси видно, що при $\ \mu =\Lambda$

$\ \alpha (\Lambda )=\infty ,$

тобто, масштаб $\ \Lambda$ має зміст шкали конфайнменту . Обертаючи залежність, можна записати $\ \Lambda$ у термінах $\ \mu ,\alpha (\mu )$ як

$\ \Lambda =\mu e^{-{\frac {\pi }{|b_{1}|\alpha (\mu )}}}$

Цей масштаб за побудовою не залежить від $\ \mu$. Відповідно, маємо зв'язок безрозмірної константи зв'язку та розмірної величини $\ \Lambda$, і теорію збурень по константі $\ \alpha$ тепер можна еквівалентно переписати у термінах розкладу по розмірній величині (а точніше, по степеням $\ {\frac {k}{\Lambda }}$, де $\ k$ - імпульс). Вказане явище називається розмірною трансмутацією.

Зокрема, у квантовій хромодинаміці шкала $\ \Lambda$ грає роль шкали конфайнменту, і ефективна теорія поля, що побудована для ступенів вільності, існуючих нижче за цю шкалу, має розмірний параметр $\ \Lambda$ у якості параметру розкладу.

Умова відтворення аномалій

Умова відтворення аномалій 'т Хоофта

Розглянемо тепер теорію із ферміонами $\ \psi$, яка має непорушену калібрувальну симетрію $\ G_{\text{gauge}}$ та глобальну симетрію $\ G_{\text{global}}$, яка є аномальною у сенсі наявності ненульових коефіцієнтів $\ D_{abc}$; індекси $\ a,b,c$ належать лише $\ G_{\text{global}}$, тобто, є внутрішня аномалія. Прикладом є квантова хромодинаміка із безмасовими кварками (їх маси можуть бути враховані як малі збурення), що має глобальну групу симетрії

$\ G_{\text{global}}\simeq U_{B}(1)\times SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$

Як було написано вище, коефіцієнти $\ D_{abc}$ можна зробити нульовими, ввівши у теорію фіктивні ферміони-спостерігачі $\ {\tilde {\psi }}$, які мають ненульові заряди відносно групи $\ G_{\text{global}}$. Модифікована теорія тепер не містить внутрішню аномалію, і група $\ G_{\text{global}}$ може бути зроблена локальною (введенням калібрувальних полів, які відповідають приєднаному представленню групи $\ G_{\text{global}}$). Константу взаємодії можна обрати як завгодно малою, щоб калібрування не впливало на динаміку початкової теорії.

Нехай тепер через динаміку початкової теорії (за участі калібрувальної групи $\ G_{\text{gauge}}$) відбувається конфайнмент, тобто, усі ферміони $\ {\tilde {\psi }}$, а також - калібрувальні поля групи $\ G_{\text{gauge}}$ починають існувати лише у вигляді зв'язаних станів. Замість початкових ферміонів та калібрувальних полів ми тепер оперуємо цими зв'язаними станами. Прокалібрована група $\ G_{\text{global}}$ має залишатися, утім, вільною від аномалій, оскільки унітарність не має залежати від масштабу теорії. Це означає, що зв'язані стани мають генерувати такий же самий вклад у коефіцієнт $\ D_{abc}$, як генерували початкові ферміони $\ \psi$ теорії, оскільки ферміони-спостерігачі, в силу відсутності зарядів $\ G_{\text{gauge}}$, вносять фіксований вклад у $\ D_{abc}$. Тобто, має виконуватися рівність

$\ D_{abc}^{\psi }=D_{abc}^{\text{bound states}},\qquad (11)$

де $\ D_{abc}^{\text{bound states}}$ - аномальний коефіцієнт, що генерується зв'язаними станами. Оскільки вищенаведені міркування ніяк не залежали від величини константи зв'язку прокаліброваної групи $\ G_{\text{global}}$, цю константу можна просто покласти рівною нулю. Вираз $\ (11)$ є умовою відтворення аномалій 'т Хоофта.

Спонтанне порушення симетрії у КХД як наслідок умови відтворення аномалій

Виявляється, умова відтворення аномалій має наслідком спонтанне порушення кіральної групи симетрії у квантовій хромодинаміці. Дійсно, умова $\ (11)$ говорить, що зв'язані стани нижче за шкалу конфайнменту мають відтворювати аномалії глобальної групи симетрії

$\ G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)$

У кіральну аномалію вносять внесок лише безмасові стани ${\text{Witten}}$; отже, лише безмасові стани можуть давати внесок у коефіцієнт $\ D_{abc}^{\text{bound states}}$. Ці стани у загальному випадку можуть мати довільну спіральність. Існування станів зі спіральністю, більшою за одиницю, неможливе внаслідок теореми Вайнберга-Віттена. Стани $\ s$ спіральності $\ 1$ також не можуть існувати, оскільки матричний елемент $\ \langle s|j_{5}^{\mu }|0\rangle$, де $\ j_{5}^{\mu }$ - кіральність, не є лоренц-коваріантним. Отже, залишаються лише ферміонні зв'язані стани та стани нульової спіральності; останні можуть існувати у теорії лише за умови спонтанного порушення симетрії.

Будуючи із групових міркувань представлення ферміонних зв'язаних станів, можна показати, що для калібрувальної групи КХД $\ SU_{c}(3)$ станів спіральності $\ 1/2$, які могли б задовольнити умові $\ (11)$, не існує. Отже, явище конфайнменту у КХД із необхідністю має наслідком явище спонтанного порушення симетрії. У результаті виникають голдстоунівські (псевдоголдстоунівські) бозони - псевдоскалярні мезони.

Маса $\ \eta {'}$-мезону

Як було зазначено вище, на класичному рівні глобальною групою симетрії безмасової квантової хромодинаміки є

$\ {\tilde {G}}_{\text{global}}\simeq U_{A}(1)\times G_{\text{global}},$

де

$\ G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)$

Із умови відтворення аномалій слідує, що має відбуватися спонтанне порушення симетрії цієї групи. Експеримент каже, що якщо група $\ {\tilde {G}}_{\text{global}}$ є точною у ліміті нульових мас кварків, то має бути спонтанне порушення симетрії

$\ {\tilde {G}}_{\text{global}}\to U_{V}(3),$

де $\ U_{V}(3)$ - діагональна підгрупа групи $\ {\tilde {G}}_{\text{global}}$.

З іншого боку, це має наслідком існування дев'яти безмасових частинок (або, при врахуванні ненульових мас кварків, дев'яти частинок фіксованих малих мас). Проте спостерігається лише вісім частинок із заданими масами, що вказує на те, що підгрупа $\ U_{A}(1)$ має бути явно порушена навіть у ліміті нульових мас.

Рішенням проблеми є аномалія, яка порушує закон збереження струму $\ U_{A}(1)$. А саме,

$\ \partial _{\mu }J_{A}^{\mu }={\frac {\alpha }{8\pi }}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=-{\frac {m_{u}m_{d}m_{s}}{m_{u}m_{d}+m_{u}m_{s}+m_{d}m_{s}}}\langle |{\bar {u}}u|\rangle$,

де $\ u$ - поле $\ u-$кварку. Відповідна частинка, що виникає внаслідок спонтанного порушення симетрії, $\ \eta {'}-$мезон, набуває внаслідок цього дуже великої маси, значно більшої за масу інших восьми легких частинок.

Аномальні процеси із піонами

Розглянемо тепер аномальні процеси із вісьмома легкими частинками, що виникають у результаті спонтанного порушення точної (у ліміті нульових мас кварків) глобальної симетрії КХД:

$\ G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)\sim \simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$

(останній перехід справедливий тому, що підгрупа $\ U_{B}(1)$ глобальної групи $\ G_{\text{global}}$ КХД не може бути спонтанно порушена внаслідок теореми Вафи-Віттена).

Вона порушується до

$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\to SU_{V}(3),$

де $\ SU_{V}(3)-$діагональна підгрупа групи $\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$. У результаті згідно із теоремою Голдстоуна виникає вісім голдстоунівських бозонів - псевдоскалярні мезони. Відповідна теорія поля, яка описує динаміку мезонів, називається кіральною ефективною теорією поля. Стоїть питання: яким чином відтворюються аномалії фундаментальної квантової хромодинаміки у кіральній ефективній теорії поля? Відповідь була дана Вессом, Зуміно та Віттеном.

У загальному випадку неабелеву кіральну аномалію у чотирьох вимірах можна пов'язати із абелевою аномалією у шести вимірах через так званий член Весса-Зуміно $\ \Gamma _{WZ}[U,A]$, де $\ U-$можливі голдстоунівські поля теорії, а $\ A$ - калібрувальні поля. Нехай у теорії відбувається спонтанне порушення симетрії $\ G$ до групи $\ H$. Відповідний член Весса-Зуміно, що відтворює усі внутрішні аномалії фундаментальної теорії, за відсутності калібрувальних полів має вигляд

$\ \Gamma _{WZ}=-{\frac {in}{240\pi ^{2}}}\int d^{5}x{\text{Tr}}\epsilon ^{ijklm}\left[U^{-1}\partial _{i}UU^{-1}\partial _{j}UU^{-1}\partial _{k}UU^{-1}\partial _{l}UU^{-1}\partial _{m}U\right]\qquad (12)$

Тут $\ U(x)-$ матриці голдстоунівських бозонів, розширені на п'ятивимірний простір топології $\ R_{3}\times D_{2}$, де $\ D_{2}$ - компактний простір двовимірного диску, а $\ R_{3}$ - тривимірний евклідів простір. Таке розширення можливе, якщо група суміжного класу $\ G/H$ має тривіальні гомотопічні групи $\ \pi _{1}(G/H)=\pi _{4}(G/H)=0$.

Процеси типу $KK\to 3\pi$

Вираз $\ (12)$ містить інформацію про "аномальні" розпади типу $\ KK\to 3\pi$, які є забороненими у наївній кіральній теорії поля без члену Весса-Зуміно. Дійсно, параметризуючи поля $\ U(x)$ як $\ U(x)=e^{i{\frac {A}{f_{\pi }}}}$, де $\ A=\epsilon _{a}t_{a}$ і $\ \epsilon$ - поля псевдоскалярних мезонів, можна отримати при $\ n=N_{c}=3$

$\ \Gamma _{WZ}={\frac {2}{5\pi ^{2}f_{\pi }^{5}}}\int d^{4}x\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }{\text{Tr}}\left[A\partial _{\mu }A\partial _{\nu }A\partial _{\alpha }A\partial _{\beta }A\right]$

Таким чином, член Весса-Зуміно описує, зокрема, вершини взаємодії із п'ятьма зовнішніми лініями, що відповідають мезонам.

Процес $\ \pi ^{0}\to 2\gamma$

Включення калібрувальних полів у кіральну ефективну теорію поля вимагає узагальнення члену $\ (12)$ до калібрувально-інваріантного вигляду. Це може бути зроблено так званим методом "проб та помилок": обчислюється калібрувальна варіація члену $\ (12)$, потім додається член, що містить таку ж саму варіацію; до варіації, що залишилась, додається така варіація, що скорочує її, і т.д. Отриманий член містить вершини, що описують, зокрема, "аномальний" розпад $\ \pi ^{0}\to 2\gamma$, $\ \pi ^{+}\pi ^{-}\to \pi ^{0}\gamma$, і т.д.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Портал Черна-Саймонса

Аномалії мають ще одне цікаве застосування у феноменології розширень Стандартної моделі, а отже - і нових експериментах із перевірки цих розширень. А саме, вони зумовлюють існування так званих порталів Черна-Саймонса - появи у низькоенергетичному ліміті деяких розширень Стандартної моделі ефективних операторів взаємодії калібрувальних полів Стандартної моделі та векторних полів розширень. Особливістю порталів Черна-Саймонса є те, що вони мають розмірність 4 (у одиницях енергії), тобто, вони не є пригніченими масштабом нової фізики, а отже, можуть бути спостережуваними на досяжних нині енергіях. Причиною цього є умова відтворення аномалій. А саме, розглянемо іграшкову модель із одним "кварком" та одним "лептоном", що має локальну калібрувальну симетрію $\ U_{L}(1)\times U_{R}(1)$. Нехай лівий "кварк" взаємодіє із калібрувальним полем $\ A_{L}+\omega$, правий - із $\ A_{R}+\omega$, лівий лептон - із $\ -A_{L}$, правий - із $\ -A_{R}$. Тут $\ \omega$ грає роль деякого фонового поля, яке є інваріантним відносно перетворень $\ U_{L}(1)\times U_{R}(1)$. Теорія є вільною від калібрувальних аномалій.

Нехай далі відбувається спонтанне порушення симетрії "кваркового" сектора

$\ U_{L}(1)\times U_{R}(1)\to U_{V}(1)$

Наслідком є виникнення голдстоунівського поля $\ {\frac {\varphi }{f_{\varphi }}}$, яке у загальному випадку надає бозону $\ Z\equiv A_{L}-A_{R}$ масу; поле $\ A\equiv A_{L}+A_{R}$ залишається безмасовим. Нехай далі "кварк" є дуже масивним; відповідно, для випадку низьких енергій по ньому можна проінтегрувати. Ефективна дія тепер має бути записана у термінах полів "лептону", голдстоунівського поля $\ \varphi$ та полів $\ A_{L},A_{R},\omega$. В силу умови відтворення аномалій калібрувальна аномалія, що генерується лептоном, має бути в точності скорочена аномалією, що генерується членом Весса-Зуміно $\ \Gamma _{WZ}[A_{L},A_{R},\varphi ,\omega ]$. Останній можна подати у вигляді

$\ \Gamma _{WZ}\Gamma _{WZ}[A_{L},A_{R},\varphi ,\omega ]=\Gamma _{WZ}[A_{R},A_{R},\varphi ]-{\frac {g^{2}}{8\pi ^{2}}}\int d^{4}x\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\left(Z_{\mu }-{\frac {\partial _{\mu }\varphi }{f_{\varphi }}}\right)\left[\omega _{\nu }(2\partial _{\alpha }A_{\beta }+\partial _{\alpha }Z_{\beta })+\omega _{\nu }\partial _{\alpha }\omega _{\beta }\right]$

Перший доданок, $\ \Gamma _{WZ}[A_{R},A_{R},\varphi ]$, скорочує аномалію, що походить із лептонного сектора. Другий же доданок виникає внаслідок існування поля $\ \omega$, і містить члени виду $\ \epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\omega _{\alpha }Z_{\beta }\partial _{\mu }A_{\nu }$, які і називаються членами Черна-Саймонса. Як видно, вказані члени ефективно є розмірності 4.

Наразі актуальною є, наприклад, модель із $\ U_{\omega }(1)$-розширенням Стандартної моделі. У ролі "кварків" виступають дуже масивні ферміони, які відинтегровуються при низьких енергіях, у ролі полів $\ A_{L},A_{R}$ - поля електрослабкої групи Стандартної моделі, у ролі "лептонів" - ферміони Стандартної моделі. Заряди дуже масивних ферміонів підібрані так, що вони не породжують калібрувальні аномалії. Локальна група $\ U_{\omega }(1)$ є спонтанно порушеною; відповідне поле відповідає полю $\ \omega$-мезону вищеописаної іграшкової теорії. У результаті, отримуються наступні оператори взаємодії Черна-Саймонса:

$\ L_{\text{CS}}=c_{1}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\omega _{\mu }Z_{\nu }\partial _{\alpha }\gamma _{\beta }+c_{2}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\omega _{\mu }Z_{\nu }\partial _{\alpha }Z_{\beta }+c_{3}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\omega _{\mu }W_{\nu }\partial _{\alpha }W_{\beta }$

Тут $\ \gamma$ - поле фотону, $\ Z,W$ -бозони слабкої взаємодії. Така теорія (її передбачення) будуть перевірятися на експерименті SHiP CERN, що планується до запуску у 2020-му році.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$