Користувач:Hryhorii.Klochnyk/Чернетка

В електромангинизмі рівняння Єфименко описують поведінку електричного та магнітного полів з точки зору розподілу зарядів і струмів у час запізнення.

Рівняння Єфименко являють собою розв'язок рівнянь Максвелла для заданого розподілу зарядів і струмів, при умові, що немає жодного електромагнітного поля крім одного, що був створений цими зарядами та струмами.

Рівняння

Електричні та магнітні поля

Вектори положення r and r′ використані в обрахунках

Рівняння Єфименко визначають електричне поле E та магнітне поле B створені зарядами та струмами довільного розподілу, при густині заряду ρ та густині струму J.

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',$

$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',$

Де r′ - точка розподілу заряду, r - точка у просторі, та

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

- це час запізнення.

Також існують аналогічні вирази для D та H.

Ці рівняння є залежними від часу узагальненнями закону Кулона та закону Біо-Савара в електродинаміці, які перш за все спправедливі лише для електростатичних, магнітостатичних полів та постійних струмів.

Походження з запізнілих потенціалів

Рівняння Єфименко можуть бути виведені з запізнілих потенціалів φ та A:

${\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',\end{aligned}}$

що є розв'язками Рівнянь Максвелла в потенціальній формі, займаючи місце в визначеннях електромагнітних потенціалів самих себе:

$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

і використавши співвідношення

$c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}$

заміняє потенціали φ та A полями E та B.