Рухоме середнє

Ковзне середнє або рухоме середнє (процес ковзного (рухомого) середнього; англ. moving average) — один із інструментів аналізу випадкових процесів та часових рядів, що полягає в обчисленні середнього підмножини значень. Ковзне середнє не є скаляром, а є випадковим процесом. Розмір підмножини, від якої обчислюється середнє значення може бути як сталим, так і змінним. Ковзне середнє може мати вагові коефіцієнти, наприклад, для посилення впливу новіших даних у порівнянні зі старішими.

Ковзне середнє може обчислюватись від довільних даних, однак, найчастіше його використовують в аналізі часових рядів для згладжування раптових коливань та підкреслення довготермінових трендів або циклів. З математичної точки зору, ковзне середнє є різновидом згортки та схоже на фільтр низьких частот в обробці сигналів.

Просте рухоме середнє

Нехай $\{x_{t}\}$ — часовий ряд, рухоме середнє $\{y_{t}\}$ обчислюється як результат лінійного перетворення:

y_{t}=\sum _{r=-q}^{+s}a_{r}x_{t+r},

де сума ваг $a_{r}$ дорівнює 1 ( $\Sigma a_{r}=1$ ).^[1]

Приклади

Прикладом простого симетричного згладжуючого фільтру є просте ковзне середнє, для якого $a_{r}=1/(2q+1)$ для $r=-q,\dots ,+q$ а згладжене значення $x_{t}$ обчислюється як:

KC(x_{t})={\frac {1}{2q+1}}\sum _{r=-q}^{+q}x_{t+r}.

Взагалі кажучи, просте ковзне середнє може бути не найкращим варіантом для обчислення трендів.

Іншим прикладом ковзного середнього є випадок, коли $\{a_{r}\}$ є членами розкриття $(1/2+1/2)^{2q}$ . Тобто, при $q=1$ , ваги $a_{-1}=a_{1}={\frac {1}{4}}$ , $a_{0}={\frac {1}{2}}$ .

Процес рухомого середнього

Нехай $\{Z_{t}\}$ — повністю випадковий процес з нульовим середнім та дисперсією $\sigma _{Z}^{2}$ . Процес $\{X_{t}\}$ називається процесом рухомого середнього порядку $q$ , якщо:^[2]