Квантовий осцилятор

Квантовий гармонічний осцилятор  — квантовий аналог класичного гармонічного осцилятора, при цьому розглядаються не сили, що діють на цю частинку, а її гамільтоніан, тобто повну енергію гармонічного осцилятора. При цьому потенціальна енергія вважається квадратично залежною від координат (як і у випадку класичного гармонічного осцилятора), а врахування доданків у її розкладі по координаті приводить до поняття не гармонічного осцилятора. Також це є одна із найважливіших моделей квантової механіки, що має точний розв'язок. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Хвильові функції в координатному представленні перших шести станів, n = 0 … 5. По горизонталі відкладена координата x, а по вертикалі — значення модуля ψ. Графіки не нормовані.

Хвильові функції для перших восьми енергій, n = 0 до 7. Горизонтальна вісь — відхилення x. Графіки не нормовані.

Класичний лінійний (одновимірний) гармонічний осцилятор

В класичній фізиці функція Гамільтона для лінійного (одновимірного) гармонічного осцилятора має вигляд

$H={\frac {p_{x}^{2}}{2\mu }}+{\frac {\mu \omega _{0}^{2}}{2}}x^{2}.$,

де $p_{x}$- імпульс частинки, $\mu$- її маса, $x$- відхилення від положення рівноваги, а $\omega _{0}$- власна циклічна частота осцилятора.

Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії $U(x)={\frac {\mu \omega _{0}^{2}}{2}}x^{2}$ означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях — сила взаємодії прямує до нуля, а $U$ — до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора.

Лінійний (одновимірний) квантовий гармонічний осцилятор

В квантовій механіці під лінійним квантовим гармонічним осцилятором (ЛКГО) розуміють систему, яка описується оператором Гамільтона, котрий можна подати у вигляді:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2\mu }}+{\frac {\mu \omega _{0}^{2}}{2}}{\hat {x}}^{2}.$,

де ${{\hat {p}}_{x}}$- оператор імпульсу, а ${\hat {x}}$ — оператор координати. Відповідно до цього гамільтоніану рівняння Шредінгера в «х — представленні» для стаціонарних (основних) станів осцилятора має вигляд:

$-{\frac {h^{2}}{2\mu }}\cdot {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {\mu \omega _{0}^{2}}{2}}\cdot x^{2}\psi =E\psi$

Для розв'язку цього рівняння можна ввести наступні безрозмірні величини:

$\xi ={\frac {x}{x_{0}}},$ $x_{0}={\sqrt {\frac {h}{\mu \omega _{0}}}},$ $\lambda ={\frac {2E}{h\omega _{0}}}$

Позначаючи диференцювання по $\xi$ штрихом та розглядаючи $\psi$ як функцію $\xi$, після елементарних перетворень приводимо рівняння Шредінгера до канонічного вигляду:

$\xi ''+(\lambda -\xi ^{2})\psi =0.$

Нам необхідно знайти скінченні, неперервні та однозначні розв'язки цього рівняння в інтервалі $-\propto \;<\xi <+\propto \;$. Такі розв'язки мають місце не при всіх значеннях параметра $\lambda$, а лише при: $\lambda =2n+1,~n=0,1,2,3,...,$, при чому відповідні власні функції $\psi _{n}(\xi )$ дорівнюють

$\psi _{n}(\xi )=e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}H_{n}(\xi ),~~H_{n}(\xi )={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{\xi ^{2}}{\frac {d^{n}e^{-\xi ^{2}}}{d\xi ^{n}}}$.

Тут $H_{n}(\xi )$ — нормовані поліноми Ерміта $n$- го порядку. При цьому, множник перед $e^{\xi ^{2}}$ вибраний так, що функція $\psi _{n}(\xi )$ є нормована по $\xi$ до 1:

$\int _{-\propto \;}^{\propto \;}\psi _{n}^{2}(\xi )\,d\xi =\int _{-\propto \;}^{\propto \;}e^{-\xi ^{2}}H_{n}^{2}(\xi )\,d\xi =1$.

Таким чином, одної вимоги неперервності та скінченності $\psi$ виявляється достатньо, щоб параметр $\lambda$ набував лише дискретних значень. Проте, оскільки цей параметр визначає енергію, тому для неї будемо мати також дискретні значення $E_{n}$:

$E_{n}=\hbar \omega _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),n=0,1,2,3,...$

Ця формула показує, що енергія осцилятора $E$ може приймати тільки дискретні значення. Число $n$, яке визначає номер квантового рівня, називають головним квантовим числом. Енергетичні рівні квантового осцилятора еквідистантні, тобто відстань між двома сусідніми рівнями є сталою величиною, що дорівнює $\hbar \omega _{0}$. Навіть в основному стані $n=0$ енергія осцилятора відмінна від нуля: $E_{0}=\hbar \omega _{0}/2$. Нарешті можна записати власну функцію, яка відповідає $n$- му значенню енергії в «$x$»- представленні у вигляді:

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {x_{0}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}}H_{n}(x/x_{0}).$

Ці функції нормовані так, що $\int _{-\propto \;}^{\propto \;}\psi _{n}^{2}(x)\,dx=1$. Користуючись наведеними вище формулами можна виписати декілька власних функцій у явному вигляді:

$\psi _{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {x_{0}{\sqrt {\pi }}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}},~~\psi _{1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2x_{0}{\sqrt {\pi }}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}}\cdot {\frac {2x}{x_{0}}},~~\psi _{2}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{3}x_{0}{\sqrt {\pi }}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2x_{0}^{2}}}}\left(4{\frac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}-2\right).$

Перша функція не дорівнює нулю у всій області визначення, за виключенням граничних випадків $x=\pm \;\propto \;$. Друга функція дорівнює нулю при $x=0$. Точку, де хвильова функція дорівнює нулю, можна назвати вузлом. Третя функція дорівнює нулю при $x=\pm \;{\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}$ і має таким чином, два вузли. Тут можна відмітити, що кількість вузлів хвильової функції дорівнює її номеру $n$. Ця властивість справедлива для будь-якого значення $n$. Таким чином, квантове число дорівнює числу вузлів власної функції. Ці функції зображені на верхньому малюнку. Вигляд функцій $\psi _{n}$ аналогічний вигляду функції $U_{n}(x)$, який показує коливання закріпленої на кінцях струни.

Щоб отримати ще повніше уявлення про квантові стани осцилятора, можна привести нижній малюнок для потенціальної функції осцилятора

$U(x)={\frac {\mu \omega _{0}^{2}}{2}}x^{2}$.

Вздовж осі ординат відкладено потенційна енергія, а вздовж осі абсцис — відхилення $x$.

Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператори народження ${\hat {a}}^{+}$ та знищення ${\hat {a}}$ як

${\hat {a}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q-i{\hat {p}})~,~~~{\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega }}}(\omega q+i{\hat {p}})$,

то гамільтоніан квантового осцилятора можна записати так:

${\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)$.

Оператори народження та знищення задовольняють комутаційному співвідношенню:

${\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}=1$.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

$\psi _{n}={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}\psi _{0}$,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

$|n>={\sqrt {n!}}({\hat {a}}^{+})^{n}|0\rangle$.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані $|n\rangle$ призводить до переходу в стан $|n+1\rangle$:

${\hat {a}}^{+}|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

${\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

Оператор

${\hat {N}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$

Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою $\omega$.

Література

• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1983. — 664 с.

Див. також

• Рівні Ландау
• Гармонічний осцилятор
• Осциляції Зенера — Блоха
• Квантовий рух в електричному полі