Квадратичний закон взаємності

В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці .

Твердження ред.

Елементарне твердження ред.

Нехай маємо два різних простих числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:

x^{2}\equiv p{\pmod {q}}

має розв'язок тоді й лише тоді, коли має розв'язок відносно невідомого y таке рівняння:

y^{2}\equiv q{\pmod {p}}

Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:

x^{2}\equiv p{\pmod {q}}

має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого y:

y^{2}\equiv q{\pmod {p}}

не має розв'язку.

Твердження за допомогою символу Лежандра ред.

З використанням символу Лежандра, твердження закону можна записати так:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}

Також існує два доповнення до закону:

\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}

і

\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.

Приклади ред.

Для простих чисел ред.

Нехай p дорівнює 11, а q дорівнює 19, i тоді $\left({\frac {11}{19}}\right)=-\left({\frac {19}{11}}\right)=-\left({\frac {8}{11}}\right)$ (оскільки $19\equiv 8\ (11)$ ). Далі $-\left({\frac {8}{11}}\right)=-\left({\frac {-3}{11}}\right)=-\left({\frac {11}{3}}\right)=-\left({\frac {2}{3}}\right)$ , і, оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3, маємо: $-\left({\frac {2}{3}}\right)=-(-1)=1$ . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити: $7^{2}=49=38+11\equiv 11{\pmod {19}}$