Збіжність майже всюди

Збіжність майже всюди — один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.

Визначення

Термінологія теорії міри

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — вимірний простір і $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$. Кажуть, що $\{f_{n}\}$ збігається майже всюди (позначають $f_{n}\to f$ $\mu$ - майже всюди), якщо

$\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0$

Термінологія теорії ймовірностей

Якщо $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — це ймовірнісний простір та $X_{n},X$ - випадкові величини, такі що:

$\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1$

то кажуть що послідовність $\{X_{n}\}$ збігається майже напевно до $X$.

Спрощений запис:

$\operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.$

Еквівалентне означення:

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\sup _{m\geq n}|X_{m}(\omega )-X(\omega )|\geq \varepsilon {\Big )}=0,\forall \varepsilon >0.$

Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:

$\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1$

Властивості

• Із поточкової збіжності випливає збіжність майже всюди.
• Із збіжності майже всюди випливає збіжність за мірою, і, таким чином, слабку збіжність (збіжність за розподілом).
• Не існує топології на множині випадкових величин (або вимірних функцій у просторі з мірою), яка б породжувала збіжність майже всюди.
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає умови для слідування збіжності у середньому із збіжності майже всюди.

Джерела

• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)