Замкнута множина

За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповненням до якої є відкрита множина.

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$. Множина $V\subset X$ називається замкнутою відносно топології ${\mathcal {T}}$, якщо існує відкрита множина $U\in {\mathcal {T}},$ така що $V=X\setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнуті.
• Інтервал $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнута в просторі раціональних чисел $\mathbb {Q}$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb {R}$, $[a,b)$ (при стандартній топології на $\mathbb {R}$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина
• Замикання (топологія)

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)