Задача про перебірливу наречену

Задача про перебірливу наречену, або проблема зупинки вибору може бути сформульована таким чином:[1]

  1. Наречена підбирає собі судженого (існує єдине вакантне місце).
  2. Є відоме число n претендентів.
  3. Про кожного претендента можна сказати, що він кращий чи гірший від іншого.
  4. Наречена спілкується з претендентами у випадковому порядку.
  5. В результаті спілкування з кожним нареченим наречена повинна йому відмовити або прийняти його пропозицію.
  6. Рішення ухвалюється тільки виходячи з оцінки претендента в порівнянні з попередніми.
  7. Знехтувані женихи не повертаються.
  8. Мета: вибрати найкращого претендента.

Цьому завданню було приділено багато уваги саме тому, що оптимальна стратегія має цікаву особливість. А саме: якщо число кандидатів досить велике (порядку сотні), оптимальна стратегія буде полягати у відхиленні всіх перших n/e (де e- основа натурального логарифма ) претендентів і потім вибрати першого, хто буде кращим від всіх попередніх або дійти до кінця.[2] При збільшенні n, ймовірність вибору найкращого претендента прямує до 1/e, тобто приблизно до 37 %.

Виведення оптимальної стратегії ред.

Оптимальним підходом для цієї задачі є правило зупину. Згідно з ним, наречена відмовляє першим r претендентам (нехай претендент M буде найкращим серед цих r претендентів), і тоді вибирає першого з наступних претендентів, який є кращим ніж претендент M. Для довільного r розглянемо ймовірність обрання найкращого претендента.

Нехай подія   полягає в обранні найкращого претендента, а подія   полягає в тому, що найкращим є претендент   Отже, повна ймовірність становить

 

Ми можемо стартувати з   бо якщо найкращий претендент є серед перших   то наречена відмовила йому. За умови події   подія   відбудеться лише якщо найкращий претендент з перших   перебуває серед перших   яким наречена відмовила. Тепер, для будь-якого довільного впорядкування   різних чисел, ймовірність того, що найбільше з них є серед перших   становить   З цього випливає, що

 

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста, с. 3-4, М.: МЦНМО, 2003
  2. С. М. Гусейн-Заде, Разборчивая невеста. с. 18, М.: МЦНМО, 2003

Посилання ред.