Задача про місіонерів та канібалів

Зада́ча про місіонерів і канібалів, а також тісно пов'язана з ними задача про ревнивого чоловіка. — класичні приклади «задач про перетин річки». Ця задача — іграшкова проблема в галузі штучного інтелекту, де вона була використана Саулом Амарелем як приклад проблеми подання.

Задача ред.

Троє місіонерів і троє канібалів мають перетнути річку за допомогою човна, що здатен витримати не більше двох осіб. Є одне обмеження: канібалів на березі не може залишатися більше, ніж місіонерів (бо якщо канібали в більшості, то можуть з'їсти місіонерів). Також човен не може перетнути річку сам по собі, без людей на борту.

Задача ревнивих чоловіків. Замість місіонерів і канібалів є троє одружених пар. Обмеження полягає в тому, що жодна жінка не може перебувати в присутності іншого чоловіка, якщо її чоловіка поряд нема. Відповідно до цього обмеження, кількість жінок на березі не може перевищувати кількість чоловіків, якщо там є хоча б один чоловік. Таким чином, при заміні чоловіків — місіонерами, а жінок — людожерами, будь-який розв'язок задачі ревнивого чоловіка буде також розв'язком задачі про місіонерів та канібалів.

Історія ред.

Вперше задача про ревнивих чоловіків з'явилася в середньовічному тексті «Propositiones» автора Juvenes Acuendos, якого зазвичай пов'язують з Алкуїном (помер 804 року). У формулюванні Алкуїна є пари братів і сестер, але обмежуючий фактор усе той же — жодна жінка не може залишатися з іншими чоловіками, якщо її брата немає поруч. З 13 по 15 століття, задача стала відомою в усій Північній Європі, вже описуючи чоловіків та дружин. Пізніше задачу формулювали в термінах майстрів та слуг. Варіант із місіонерами та людожерами з'явився наприкінці 19 сторіччя.

Рішення ред.

Амарель розробив систему для розв'язку «задачі місіонерів і канібалів». Поточний стан задачі являє собою вектор <a,b,c>. Елементами вектора є: кількість місіонерів, кількість канібалів і кількість суден на тому березі, з якого починається переправа. Якщо спочатку там перебувають човен, і всі місіонери та канібали, то початковий вектор (вектор ініціалізації) буде <3,3,1>. Дії подаються у вигляді вектора віднімання / додавання і змінюють вектор поточного стану. Наприклад, якщо один людожер переправився через річку, вектор <0,1,1> віднімається від початкового стану, отримуємо поточний вектор <3,2,0>. Стан вектора відображає, що лишилося три місіонери та двоє людожерів, і човна на цьому березі нема (він перебуває на протилежному). Щоб повністю вирішити цю задачу, будуємо дерево з початковим станом як кореневим. П'ять можливих дій (<1,0,1>, <2,0,1>, <0,1,1>, <0,2,1> і <1,1,1>), які віднімають з початкового стану, утворюють п'ять вузлів-нащадків. Ті вузли дерева, в яких хоч на одному березі більше канібалів, ніж місіонерів, являють собою неприпустимий стан, і тому їх вилучають із подальшого розгляду. На першому кроці прийнятними вузлами-нащадками є <3,2,0>, <3,1,0> і <2,2,0>. Для кожного з цих вузлів створюють вузли-нащадки шляхом додавання (чи віднімання) усіх можливих векторів дій . Цільовим вектором є <0,0,0>. Шлях від кореня дерева до цього вузла і є та послідовність дій, яка розв'язує задачу.

Розв'язок ред.

Найбільш ранні відомі рішення проблеми Ревнивого Чоловіка, з використанням 11 поїздок в один кінець, полягає в наступному. Подружні пари представлені у вигляді $\alpha$ (Чоловіки) і $\beta$ (жінка) ^[1] ^, p. 291.

Номер	Початковий берег	Переїзд	Кінцевий берег
(start)	$\alpha$ a $\beta$ b $\gamma$ c
1	$\beta$ b $\gamma$ c	$\alpha$ a →
2	$\beta$ b $\gamma$ c	← $\alpha$	a
3	$\alpha$ $\beta$ $\gamma$	bc →	a
4	$\alpha$ $\beta$ $\gamma$	← a	b c
5	$\alpha$ a	$\beta$ $\gamma$ →	b c
6	$\alpha$ a	← $\beta$ b	$\gamma$ c
7	a b	$\alpha$ $\beta$ →	$\gamma$ c
8	a b	← c	$\alpha$ $\beta$ $\gamma$
9	b	a c →	$\alpha$ $\beta$ $\gamma$
10	b	← $\beta$	$\alpha$ a $\gamma$ c
11		$\beta$ b →	$\alpha$ a $\gamma$ c
(finish)			$\alpha$ a $\beta$ b $\gamma$ c

Це найкоротший варіант вирішення проблеми, але це не єдине найкоротше рішення. Якщо, тільки одна людина може вийти з човна в один час, а чоловік повинен бути на березі, щоб рахуватися з його дружиною, а не тільки перебувати в човні на березі: рух від 5 до 6 неможливо, так як тільки як жінка вийшла на берег- вона не буде з чоловіком, незважаючи на його буття тільки в човні. Як згадувалося раніше, це рішення для «задачі про ревнивого чоловіка» стане рішенням для «Задачі місіонерів і канібалів» при заміні чоловіків і жінок місіонерами і канібалами. В цьому випадку можна знехтувати окремими особистостями місіонерів і канібалів. Рішення тільки так як і раніше, проте коротше і є одним з чотирьох найкоротшіх рішень. Якщо жінка в човні на березі (але не на березі) вважається як самостійна (тобто не в присутності будь-якого чоловіка на березі), то ця загадка може бути вирішена в 9 поїздок в один кінець:

Номер	Початковий берег	Переїзд	Кінцевий берег
(start)	$\alpha$ a $\beta$ b $\gamma$ c
1	$\beta$ b $\gamma$ c	$\alpha$ a →
2	$\beta$ b $\gamma$ c	← a	$\alpha$
3	$\beta$ $\gamma$ c	ab →	$\alpha$
4	$\beta$ $\gamma$ c	← b	$\alpha$ a
5	$\gamma$ c	$\beta$ b →	$\alpha$ a
6	$\gamma$ c	← b	$\alpha$ a $\beta$
7	$\gamma$	bc →	$\alpha$ a $\beta$
8	$\gamma$	← c	$\alpha$ a $\beta$ b
9		$\gamma$ c →	$\alpha$ a $\beta$ b
(finish)			$\alpha$ a $\beta$ b $\gamma$ c

Розв'язання на Prolog ред.

 
/*1 kannibal*/
move(state(X,K2,K3,M1,M2,M3),state(Y,K2,K3,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,M1,M2,M3),state(K1,Y,K3,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,M1,M2,M3),state(K1,K2,Y,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).

/*2 kannibala*/
move(state(X,X,K3,M1,M2,M3),state(Y,Y,K3,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(X,K2,X,M1,M2,M3),state(Y,K2,Y,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,X,M1,M2,M3),state(K1,Y,Y,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).

/*3 kannibala*/
move(state(X,X,X,M1,M2,M3),state(Y,Y,Y,M1,M2,M3)):-opposite(X,Y).

/*1 missioner*/
move(state(K1,K2,K3,X,M2,M3),state(K1,K2,K3,Y,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,K3,M1,X,M3),state(K1,K2,K3,M1,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,K3,M1,M2,X),state(K1,K2,K3,M1,M2,Y)):-opposite(X,Y).

/*2 missionera*/
move(state(K1,K2,K3,X,X,M3),state(K1,K2,K3,Y,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,K3,M1,X,X),state(K1,K2,K3,M1,Y,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,K3,X,M2,X),state(K1,K2,K3,Y,M2,Y)):-opposite(X,Y).

/*3 missionera*/
move(state(K1,K2,K3,X,X,X),state(K1,K2,K3,Y,Y,Y)):-opposite(X,Y).

/*1 kannibal, 1 missioner*/
move(state(X,K2,K3,X,M2,M3),state(Y,K2,K3,Y,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,X,M2,M3),state(K1,Y,K3,Y,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,X,M2,M3),state(K1,K2,Y,Y,M2,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(X,K2,K3,M1,X,M3),state(Y,K2,K3,M1,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,M1,X,M3),state(K1,Y,K3,M1,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,M1,X,M3),state(K1,K2,Y,M1,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(X,K2,K3,M1,M2,X),state(Y,K2,K3,M1,M2,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,M1,M2,X),state(K1,Y,K3,M1,M2,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,M1,M2,X),state(K1,K2,Y,M1,M2,Y)):-opposite(X,Y).

/*1 kannibal, 2 missionera*/
move(state(X,K2,K3,X,X,M3),state(Y,K2,K3,Y,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(X,K2,K3,M1,X,X),state(Y,K2,K3,M1,Y,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(X,K2,K3,X,M2,X),state(Y,K2,K3,Y,M2,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,X,X,M3),state(Y,K2,K3,Y,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,M1,X,X),state(K1,Y,K3,M1,Y,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,X,K3,X,M2,X),state(K1,Y,K3,Y,M2,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,X,X,M3),state(K1,K2,Y,Y,Y,M3)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,M1,X,X),state(K1,K2,Y,M1,Y,Y)):-opposite(X,Y).
move(state(K1,K2,X,X,M2,X),state(K1,K2,Y,Y,M2,Y)):-opposite(X,Y).

opposite(east,west).
opposite(west,east).

/*2 kannibala, 1 missioner*/
unsafe(state(X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3)):-
X1 = east,X2 = east,Y1 = east;
X1 = east,X3 = east,Y1 = east;
X2 = east,X3 = east,Y1 = east;

X1 = east,X2 = east,Y2 = east;
X1 = east,X3 = east,Y2 = east;
X2 = east,X3 = east,Y2 = east;

X1 = east,X2 = east,Y3 = east;
X1 = east,X3 = east,Y3 = east;
X2 = east,X3 = east,Y3 = east;

X1 = west,X2 = west,Y1 = west;
X1 = west,X3 = west,Y1 = west;
X2 = west,X3 = west,Y1 = west;

X1 = west,X2 = west,Y2 = west;
X1 = west,X3 = west,Y2 = west;
X2 = west,X3 = west,Y2 = west;

X1 = west,X2 = west,Y3 = west;
X1 = west,X3 = west,Y3 = west;
X2 = west,X3 = west,Y3 = west;

X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y1 = east;
X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y2 = east;
X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y3 = east;

X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y1 = west;
X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y2 = west;
X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y3 = west;

X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y1 = east,Y2 = east;
X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y1 = east,Y3 = east;
X1 = east,X2 = east,X3 = east,Y2 = east,Y3 = east;

X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y1 = west,Y2 = west;
X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y1 = west,Y3 = west;
X1 = west,X2 = west,X3 = west,Y2 = west,Y3 = west.

   path(Start,Finish,L,L1):-
         move(Start,S1),
         not(unsafe(S1)),
         not(member(S1,L)),
         path(S1,Finish,[S1|L],L1),!.
   path(Finish,Finish,T,T):-!.   /* The final state is reached  */

   go:-go(state(east,east,east,east,east,east),state(west,west,west,west,west,west)).

   go(Start,Finish):-
        path(Start,Finish,[Start],L),
        nl,write("A solution is:"),nl,
        write_path(L),
        fail.
   go(_,_).

member(X,[X|_]).
member(X,[_|L]):-member(X,L).

/*1 kannibal*/
write_move(state(X,K2,K3,M1,M2,M3),state(Y,K2,K3,M1,M2,M3)):-!,
           write("1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.
write_move(state(K1,X,K3,M1,M2,M3),state(K1,Y,K3,M1,M2,M3)):-!,
           write("1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,M1,M2,M3),state(K1,K2,Y,M1,M2,M3)):-!,
           write("1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*2 kannibala */
write_move(state(X,X,K3,M1,M2,M3),state(Y,Y,K3,M1,M2,M3)):-!,
           write("2 kannibala goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.
write_move(state(X,K2,X,M1,M2,M3),state(Y,K2,Y,M1,M2,M3)):-!,
           write("2 kannibala goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.
write_move(state(K1,X,X,M1,M2,M3),state(K1,Y,Y,M1,M2,M3)):-!,
           write("2 kannibala goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.
/*3 kannibala*/
write_move(state(X,X,X,M1,M2,M3),state(Y,Y,Y,M1,M2,M3)):-!,
           write("3 kannibala goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*1 missioner*/
write_move(state(K1,K2,K3,X,M2,M3),state(K1,K2,K3,Y,M2,M3)):-!,
           write("1 missioner goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,K3,M1,X,M3),state(K1,K2,K3,M1,Y,M3)):-!,
           write("1 missioner goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,K3,M1,M2,X),state(K1,K2,K3,M1,M2,Y)):-!,
           write("1 missioner goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*2 missionera*/
write_move(state(K1,K2,K3,X,X,M3),state(K1,K2,K3,Y,Y,M3)):-!,
           write("2 missionera goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,K3,M1,X,X),state(K1,K2,K3,M1,Y,Y)):-!,
           write("2 missionera goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,K3,X,M2,X),state(K1,K2,K3,Y,M2,Y)):-!, 
           write("2 missionera goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*3 missionera*/
write_move(state(K1,K2,K3,X,X,X),state(K1,K2,K3,Y,Y,Y)):-!,
           write("3 missionera goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*1 kannibal, 1 missioner*/
write_move(state(X,K2,K3,X,M2,M3),state(Y,K2,K3,Y,M2,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,X,M2,M3),state(K1,Y,K3,Y,M2,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,X,M2,M3),state(K1,K2,Y,Y,M2,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(X,K2,K3,M1,X,M3),state(Y,K2,K3,M1,Y,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,M1,X,M3),state(K1,Y,K3,M1,Y,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,M1,X,M3),state(K1,K2,Y,M1,Y,M3)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(X,K2,K3,M1,M2,X),state(Y,K2,K3,M1,M2,Y)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,M1,M2,X),state(K1,Y,K3,M1,M2,Y)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,M1,M2,X),state(K1,K2,Y,M1,M2,Y)):-!,
           write("1 missioner, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
/*1 kannibal, 2 missionera*/
write_move(state(X,K2,K3,X,X,M3),state(Y,K2,K3,Y,Y,M3)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(X,K2,K3,M1,X,X),state(Y,K2,K3,M1,Y,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(X,K2,K3,X,M2,X),state(Y,K2,K3,Y,M2,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,X,X,M3),state(Y,K2,K3,Y,Y,M3)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,M1,X,X),state(K1,Y,K3,M1,Y,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,X,K3,X,M2,X),state(K1,Y,K3,Y,M2,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,X,X,M3),state(K1,K2,Y,Y,Y,M3)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,M1,X,X),state(K1,K2,Y,M1,Y,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.  
write_move(state(K1,K2,X,X,M2,X),state(K1,K2,Y,Y,M2,Y)):-!,
           write("2 missionera, 1 kannibal goes from"),
           write(X),
           write(" to "),
           write(Y),nl.

   write_path([H1,H2|T]):-!,
           write_move(H1,H2),write_path([H2|T]).
   write_path(_).

?-go.

Варіації ред.

Очевидним узагальненням є зміна числа ревнивих пар (або місіонерів і канібалів), місткість судна, або обох параметрів. Якщо човен вміщує 2 осіб, то 2 пари вимагають 5 поїздок, від 4 або більше пар, завдання не має рішення.

Якщо човен може вмістити 3 чоловік, то може перевезти до 5 пар, якщо човен може містити 4-х осіб, то можливо перевезти будь-яку кількість пар.

Якщо в середині річки додати острів, то потім будь-яке число пар може перетнути річку за допомогою двох чоловік.

Див. також ред.

Посилання ред.

↑ Jealous Husbands Crossing the River: A Problem from Alcuin to Tartaglia, Raffaella Franci, pp. 289—306, From China to Paris: 2000 Years Transmission of Mathematical Ideas, edited by Yvonne Dold-Samplonius, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, and Benno van Dalen, Stuttgart: Franz Steiner Verlag, 2002, ISBN 3515082239.

[b-1] Jealous Husbands Crossing the River: A Problem from Alcuin to Tartaglia, Raffaella Franci, pp. 289—306, From China to Paris: 2000 Years Transmission of Mathematical Ideas, edited by Yvonne Dold-Samplonius, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, and Benno van Dalen, Stuttgart: Franz Steiner Verlag, 2002, ISBN 3515082239.

[1]