Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

$(A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}$

Визначення також може бути записане так:

$A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}$

де

$A^{T}\!$ — транспонування,

${\overline {A}}$ — заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Позначення

Ермітове спряження матриці A позначається:

• $\ A^{*}$ чи $\ A^{H}$ — в лінійній алгебрі,
• $\ A^{\dagger }$ — в теоретичній фізиці,

Приклад

Якщо

$A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}$

тоді

$A^{*}={\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}}$

Властивості

• $\ ({A^{*}})^{*}=A$
• $\ (rA)^{*}={r}^{*}{A}^{*}$
• $\ {(A+B)}^{*}={A}^{*}+{B}^{*}$
• $\ {(AB)}^{*}={B}^{*}{A}^{*}$
• $\ ({A^{*}})^{-1}=({A^{-1}})^{*}$
• $\ \det {(A^{*})}=(\det {A})^{*}$
• $\ \operatorname {tr} {(A^{*})}=(\operatorname {tr} {A})^{*}$
• визначник, слід та власні значення $\ A^{*}$ комплексно-спряжені до відповідних значень $\ A$.
• Для довільної матриці $\ A,$ матриці $AA^{*}$ та $A^{*}A$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.

Походження

Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.

Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:

$a+ib\equiv {\Big (}{\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}{\Big )}$,

то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати однаковий результат.

Див. також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)