Еліптичні функції Веєрштрасса
Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають -функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ (стилізоване P).
Визначення ред.
Нехай задана деяка ґратка в . Тоді -функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду
Можна побачити, що така функція буде -періодичною на , і тому є мероморфною функцією на .
Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, — «наївної» спроби задати -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як , а сума по двовимірних ґратках є розбіжною.
Варіанти визначення ред.
Задаючи ґратку її базисом , можна записати
Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна , позначивши , має місце рівність:
Тому розглядають
Властивості ред.
- Функція Веєрштрасса — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
- Скориставшись розкладом і посумувавши по , можна одержати розклад в точці функції Веєрштрасса в ряд Лорана:
де — ряди Ейзенштейна для ґратки (відповідні непарні суми рівні нулю).
Проте, коефіцієнти при і часто записують в іншій, традиційній формі:
де і — модулярні інваріанти ґратки :
Диференціальні і інтегральні рівняння ред.
Диференціальні рівняння ред.
З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:
- .
Інтегральні рівняння ред.
Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай
де g2 і g3 приймаються константами. Тоді
Модулярний дискримінант ред.
Модулярний дискримінант еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище:
Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом
Справедлива рівність , де позначає ета-функцію Дедекінда[en].[2]
Коефіцієнти Фур'є розкладу в ряд по степенях визначаються через тау-функцію Рамануджана[en].
Додаткові властивості ред.
Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:
(або в більш симетричній формі
де ).
Також
і
якщо не є періодом.
Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса ред.
Будь-яка еліптична функція з періодами і може бути представлена у вигляді де h, g — раціональні функції, — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у . Якщо при цьому є парною функцією, то її можна представити у вигляді , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами і є скінченним розширенням поля комплексних чисел, з породжуючими елементами і .
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ Apostol, Tom M. (1976). Modular functions and Dirichlet series in number theory. New York: Springer-Verlag. с. 50. ISBN 0-387-90185-X. OCLC 2121639.
- ↑ Chandrasekharan, K. (Komaravolu), 1920- (1985). Elliptic functions. Berlin: Springer-Verlag. с. 122. ISBN 0-387-15295-4. OCLC 12053023.
Література ред.
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6