Ейконал

Ейконал - фізична величина, яка описує зміну фази хвилі в просторі й часі.

В певному сенсі це величина аналогічна еквіпотенціальним поверхням електричного поля - світло розповсюджується перпендикулярно до поверхні зі сталим ейконалом так само, як електричне поле направлене перпендикулярно до еквіпотенціальної поверхні.

Математичне визначення

У випадку, коли світлові промені чи інші хвилі відбиваються й заломлюються різноманітними об'єктами, фронт хвилі може бути достатньо складним. Проте, якщо розміри перешкод набагато більші за довжину хвилі, в кожному окремому об'ємі простору можна наближено вважати хвилю плоскою й подати її у вигляді

$u=ae^{i\psi }\,$,

де амплітуда a незначно змінюється в просторі. Величина $\psi (\mathbf {r} ,t)\,$ називається ейконалом. Для плоскої монохроматичної хвилі ейконал

$\psi =\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t-\varphi$.

У загальному випадку ейконал задовільняє рівнянню ейконала, яке називають основним рівнянням геометричної оптики

${\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{i}}}=0$

де $x^{i}$ - 4-вектори.

У випадку монохроматичного світла, тобто світла із визначеною частотою ω, ейконал можна подати у вигляді

$\psi =-\omega t+\psi _{0}\,$.

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

$(\nabla \psi _{0})^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$,

де c - швидкість світла у порожнечі.

При розповсюдженні світла в середовищі із залежним від координати показником заломлення $n(\mathbf {r} )$, рівняння ейконалу має вигляд:

В такому випадку основне рівняння оптики набирає вигляду:

$(\nabla \psi _{0})^{2}=n(\mathbf {r} ){\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$.

Ейконал часто нормують на величину $\omega ^{2}/c^{2}$, і тоді

$(\nabla \psi _{0})^{2}=n(\mathbf {r} )$.

Хвильова поверхня, яка задає фронт хвилі, визначається сталістю ейконала:

$\psi _{0}(x,y,z)={\text{const}}\,$.

Напрям розповсюдження світла визначається градієнтом ейконала.

Крім оптики поняття ейконала використовується також у квантовій механіці, хвильові рівняння якої мають багато спільного з хвильовими рівняннями оптики, особливо у випадку малої довжини хвилі в порівнянні із розмірами об'єктів. У цьому випадку хвильова оптика зводиться до геометричної, а квантова механіка переходить до класичної механіки.

Загальна теорія відносності

В гравітаційному полі рівняння для визначення ейконала набирає вигляду

$g^{ij}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \psi }{\partial x^{j}}}=0$,

де $g^{ij}$ задає метрику простору-часу.

Література

• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.