Евклідова топологія дійсної прямої

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел . Її стандартну базу складають інтервали , , . [1]

Властивості ред.

  • Будь-яка замкнена в   множина   є  -множиною, оскільки  , де  окіл множини   радіусу  ,  , тобто  . Кожна точка, що не належить  , міститься в ε-околі, який не перетинається з  , і таким чином не перетинається з деяким  .
  • Топологія на   також може бути задана квазіметрикою  , коли  , і  , коли  .
  • Набір множин   чи  , де   і  , є передбазою рівномірності  , породженої природною топологією на  , але   не є звичайною метричною рівномірністю.
  • Евклідів  -вимірний простір   визначається як добуток n копій  . Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії  . Еквівалентна база складається з відкритих  -вимірних куль відносно евклідової метрики   в  .

Література ред.

  1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.