Друга теорема Веєрштрасса

Дру́га теоре́ма Веєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Веєрштрасс.

Точна верхня межа (червоний) і точна нижня межа (синій) неперервної функції ƒ(x) на закритому проміжку [a,b]

Формулювання теореми

Якщо функція $f(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$, то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку $[a,b]$ знайдуться точки $x_{1}$ та $x_{2}$ такі, що $f(x_{1})=M$, $f(x_{2})=m$.

Доведення

Доведемо, що функція $f(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ досягає своєї точної верхньої межі $\!M$ (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція $f(x)$ не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжку $[a,b]$. Тоді для всіх точок проміжку $[a,b]$ нерівність $\!f(x)<M$ є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку $[a,b]$ скрізь додатну функцію

$F(x)={\frac {1}{M-f(x)}}$.

Оскільки знаменник $M-f(x)$ не обертається в нуль та неперервний на проміжку $[a,b]$, то за теоремою про неперервність частки неперервних функцій, функція $F(x)$ також неперервна на проміжку $[a,b]$. У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєрштрасса, функція $F(x)$ обмежена на проміжку $[a,b]$, тобто знайдеться таке додатне число $B$, що для будь-якого $x$ з проміжку $[a,b]$ справедлива нерівність:

$F(x)={\frac {1}{M-f(x)}}\leq \!B$.

Її можна переписати (враховуючи що $M-f(x)>0$) у такому вигляді:

$f(x)\leq M-{\frac {1}{B}}$.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок $x$ з проміжку $[a,b]$. Воно суперечить тому, що $M$ є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції $f(x)$ на проміжку $[a,b]$. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також

• Перша теорема Веєрштрасса
• Неперервна функція
• Карл Веєрштрас
• Теореми Веєрштраса у банахових просторах
• Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)