У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A , B , C , D є матриці відповідно p ×p , p ×q , q ×p і q ×q , і D оборотна .
Нехай
M
=
[
A
B
C
D
]
{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}
так що M — це матриця (p +q )×(p +q ).
Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p ×p
A
−
B
D
−
1
C
.
{\displaystyle A-BD^{-1}C.\,}
Його назвали на честь Ісаї Шура , який використав його для доведення леми Шура , хоча його використовували і до того.[1]
Підґрунтя
ред.
Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю
L
=
[
I
p
0
−
D
−
1
C
I
q
]
.
{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right].}
Тут Ip позначає одиничну матрицю p ×p . Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p ×p блоку. Матрицю добутку така
M
L
=
[
A
B
C
D
]
[
I
p
0
−
D
−
1
C
I
q
]
=
[
A
−
B
D
−
1
C
B
0
D
]
=
[
I
p
B
D
−
1
0
I
q
]
[
A
−
B
D
−
1
C
0
0
D
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}ML&=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}
Це аналогічно до LDU-розкладу матриці . Тобто, ми щойно показали, що
[
A
B
C
D
]
=
[
I
p
B
D
−
1
0
I
q
]
[
A
−
B
D
−
1
C
0
0
D
]
[
I
p
0
D
−
1
C
I
q
]
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}
отже, обернена до M можна представити за участю D −1 і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як
[
A
B
C
D
]
−
1
=
[
I
p
0
−
D
−
1
C
I
q
]
[
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
0
0
D
−
1
]
[
I
p
−
B
D
−
1
0
I
q
]
=
[
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
−
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
−
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
D
−
1
+
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\\[12pt]&=\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}
Якщо M — симетрична додатноозначена матриця , то й так само буде доповнення Щура для D у M .
Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A , B , C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:
M
−
1
=
1
A
D
−
B
C
[
D
−
B
−
C
A
]
{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}
за умови, що AD − BC
Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою
det
(
M
)
=
det
(
D
)
det
(
A
−
B
D
−
1
C
)
{\displaystyle \det(M)=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)}
яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.
Умови на додатню визначеність і додатню напіввизначеність
ред.
Нехай X — це симетрична матриця задана так
X
=
[
A
B
B
T
C
]
.
{\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}
Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X , тобто
X
/
A
=
C
−
B
T
A
−
1
B
,
{\displaystyle X/A=C-B^{T}A^{-1}B,\,}
і X/C буде доповненням Щура для C в X , тобто
X
/
C
=
A
−
B
C
−
1
B
T
.
{\displaystyle X/C=A-BC^{-1}B^{T}.\,}
Тоді
X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені:
X
≻
0
⇔
A
≻
0
,
X
/
A
=
C
−
B
T
A
−
1
B
≻
0
{\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow A\succ 0,X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succ 0}
X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені:
X
≻
0
⇔
C
≻
0
,
X
/
C
=
A
−
B
C
−
1
B
T
≻
0
{\displaystyle X\succ 0\Leftrightarrow C\succ 0,X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succ 0}
Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною:
If
{\displaystyle {\text{If}}}
A
≻
0
{\displaystyle A\succ 0}
then
{\displaystyle {\text{then}}}
X
⪰
0
⇔
X
/
A
=
C
−
B
T
A
−
1
B
⪰
0
{\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow X/A=C-B^{T}A^{-1}B\succeq 0}
Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною:
If
{\displaystyle {\text{If}}}
C
≻
0
{\displaystyle C\succ 0}
then
{\displaystyle {\text{then}}}
X
⪰
0
⇔
X
/
C
=
A
−
B
C
−
1
B
T
⪰
0
{\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow X/C=A-BC^{-1}B^{T}\succeq 0}
Перше і третє твердження можна отримати [2] [3]
u
T
A
u
+
2
v
T
B
T
u
+
v
T
C
v
,
{\displaystyle u^{T}Au+2v^{T}B^{T}u+v^{T}Cv,\,}
як функції від v (для фіксованого u ).
Далі, оскільки
[
A
B
B
T
C
]
≻
0
⟺
[
C
B
T
B
A
]
≻
0
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{T}\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}
і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.
Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура.[1]
X
⪰
0
⇔
A
⪰
0
,
C
−
B
T
A
g
B
⪰
0
,
(
I
−
A
A
g
)
B
=
0
{\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow A\succeq 0,C-B^{T}A^{g}B\succeq 0,(I-AA^{g})B=0\,}
X
⪰
0
⇔
C
⪰
0
,
A
−
B
C
g
B
T
⪰
0
,
(
I
−
C
C
g
)
B
T
=
0
,
{\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{T}\succeq 0,(I-CC^{g})B^{T}=0,}
де
A
g
{\displaystyle A^{g}}
узагальнену обернену матрицю для
A
{\displaystyle A}
Див. також
ред.
Примітки
ред.
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2de9f5f13686b885f8c4ebd9db596b6804fd5e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}ML&=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f5aad0c7471f371ce077a41070037b5ec49c3e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0fd382b10ed1243c7f42cf5504e6b3102991d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\\[12pt]&=\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ce1330151db8fdfe6ee6b40d86f9f51835329b)
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
![{\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ffca64422c591e51d4142e4c182676a6b2dced)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{T}\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f446b5476e00962fc346babf164547d0266fd3)
