Дихотомія (апорія)

Дихотомі́я, також парадо́кс по́ділу — одна із апорій Зенона Елейського, сформована в античні часи:

Щоб пройти шлях, потрібно спочатку пройти половину шляху, а щоб пройти половину шляху, потрібно спочатку пройти половину половини, і так до безкінечності.

Це очевидне протиріччя, в якому потрібно показати, що рух в реальності неможливий. Він тісно пов'язаний з парадоксом Ахіллеса і черепахи.

Точне формулювання

Приклад, який спростовує існування руху, наступний: Зенон стоїть на відстані восьми метрів від дерева, тримаючи в руках камінь. Він кидає камінь у напрямку дерева. Перш ніж камінь долетить до дерева, він має подолати першу половину з восьми метрів. Щоб подолати цю відстань, камінцю потрібен певний час, не нульовий. Потім йому потрібно пройти ще чотири метри, з яких він долає половину, два метри, що також займає певний час. Потім камінь просувається ще на метр, потім на пів метра, потім на чверть метра і так до нескінченності, щоразу витрачаючи ненульовий час. Зенон робить висновок, що камінь не може влучити в дерево, бо для цього він мав би пройти нескінченну низку етапів, що неможливо.

Розв'язання

Зауважимо, що $t_{0}$ час, за який камінь подолав половину відстані, що відділяє його від дерева, $t_{1}$ час, необхідний для подолання половини відстані, що залишилася, і т.д. Загальна тривалість шляху дорівнює сумі тривалостей частин шляху, тобто $t_{0}+t_{1}+...+t_{n}+...$ Зенон вважав, що ця сума обов'язково нескінченна, звідси й парадокс. Однак ми знаємо, що ця загальна тривалість не є нескінченною, оскільки камінчик досягає дерева. Тому здається, що ряд із загальним членом $t_{n}$ збігається. Це ми й пропонуємо продемонструвати, припустивши, що швидкість камінчика є сталою.

Оскільки швидкість постійна, то маємо $t_{1}=t_{0}/2$, $t_{2}=t_{1}/2$ і в більш загальному вигляді

$\forall n\in \mathbb {N}$ $t_{n+1}={\frac {t_{n}}{2}}$ Таким чином, послідовність $(t_{n})_{n}\in \mathbb {N}$ є геометричною, з якої отримуємо $\forall n\in \mathbb {N}$ $t_{n}={\frac {t_{0}}{2^{n}}}$ Таким чином, часткові суми мають простий вираз

$\sum _{n=0}^{N}t_{n}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {t_{0}}{2^{n}}}=t_{0}{\frac {1-(1/2)^{N+1}}{1-(1/2)}}$ Звідси випливає, що $\sum t_{n}$ збігається, і що $\sum _{n=0}^{\infty }t_{n}=t_{0}{\frac {1}{1-(1/2)}}=2t_{0}$Таким чином, камінь здійснює нескінченну кількість подорожей за скінченний час, який дорівнює a $2t_{0}$, Зауважимо, що $2t_{0}$ вдвічі більше, ніж час, за який камінчик пройшов першу половину відстані.

В літературі та мистецтві

Апорія «Дихотомія» лежить в основі сюжету фантастичної розповіді Філіпа Діка «Про невтомну жабу».

Див. також

• Ахіллес і черепаха
• Апорії Зенона

Посилання

• Хазарзар Руслан. Апории Зенона [Архівовано 19 червня 2011 у Wayback Machine.].(рос.)
• Апории Зенона [Архівовано 28 червня 2011 у Wayback Machine.] на warrax.net.(рос.)