Двовимірні многовиди

Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.

Одновимірність тензора Рімана ред.

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів $(ij)$ може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію $(12)=-(21)$ , то тензор Рімана $R_{ijkl}$ з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

(1)\qquad R_{1212}=-R_{2112}=R_{2121}=-R_{1221}

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

(2)\qquad R_{1212}+R_{2112}+R_{1112}=0

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії $R_{ijkl}$ по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

(3)\qquad \nabla _{1}R_{12ps}+\nabla _{1}R_{21ps}+\nabla _{2}R_{11ps}=0

В цій формулі друга пара індексів $(ps)$ теж дорівнює $(12)$ , але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

(4)\qquad g_{ijkl}={\begin{vmatrix}g_{ik}&g_{il}\\g_{jk}&g_{jl}\end{vmatrix}}=g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

(5)\qquad R_{ijkl}=\lambda \,g_{ij,kl}

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою $n$ позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

(6)\qquad R_{ik}=\lambda \,g^{jl}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})=(n-1)\lambda \,g_{ik}

(7)\qquad R=g^{ij}R_{ij}=n(n-1)\lambda

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

(8)\qquad 2\nabla ^{j}R_{ij}=\nabla _{i}R

(8a)\qquad 2(n-1)\nabla _{i}\lambda =n(n-1)\nabla _{i}\lambda

(8b)\qquad (n-2)(n-1)\nabla _{i}\lambda =0

При $n>2$ перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

(9)\qquad \nabla _{i}\lambda ={\partial \lambda  \over \partial u^{i}}=0;\qquad \lambda ={\mbox{const}}

тобто коефіцієнт $\lambda$ однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів ( $n=2$ ) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт $\lambda$ може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що $\lambda$ дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

(10)\qquad \lambda ={R \over n(n-1)}={R \over 2}=K^{[2]}=K

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

(11)\qquad R_{ijkl}=K\,g_{ij,kl}

(12)\qquad R_{ij}=K\,g_{ij}

(13)\qquad R=2K

Ізотермічні координати ред.

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор $g_{ij}$ буде пропорційним одиничній матриці:

(14)\qquad g_{ij}=a\delta _{ij}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}}

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

(15)\qquad ds^{2}=a((u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}))

Теорема Ґауса — Бонне ред.

Для будь-якого гладкого замкнутого контуру $L$ на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області $\Omega$ справедлива наступна формула:

(16)\qquad \oint _{L}k_{g}dl+\int _{\Omega }Kds=2\pi \chi (\Omega )

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру $L$ , другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а $\chi =\chi (\Omega )$ є цілим числом - характеристикою Ейлера для області $\Omega$ . Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.