Групи Томпсона

У математиці під групами Томпсона (також відомі як Томпсонові групи або хамелеонові групи) маються на увазі три групи, зазвичай позначаються як F ⊂ T ⊂ V, які були впроваджені Ричардом Томпсоном в своїх неопублікованих рукописних замітках 1965 року. З цих трьох найбільш відомою та вивченою є F , яку часом називають безпосердньо групою Томпсона або Томпсоновою групою.

Томпсонові групи, зокрема F, відомі своїми незвичними властивостями, що зробило їх контрприкладами до багатьох загальних гіпотез у теорії груп. Всі три групи є нескінченними, та скінченно представленими. Групи T і V, є прикладами нескінченних, але скінченнопредставлених простих груп. Група F не є простою, проте її комутатор [F, F] такою є, і фактор F за цією підгрупою є вільною абелевою групою рангу 2. F є лінійно впорядкованою, має експоненційне зростання, і не містить підгрупи, ізоморфної вільній групі рангу 2. Відомо, що група F не є елементарно аменабельною. Якби F не була аменабельною, то це був би ще один контрприклад до спростованої гіпотези фон Ноймана для скінченнопредставлених груп, яка припускала, що скінченнопредставлена група є аменабельною тоді й тільки тоді, коли не містить вільної групи рангу 2.

Higman, (1974) впровадив нескінченну родину скінченнопредставлених простих груп, де Томпсонова група V є лише окремим випадком.

Задання ред.

$F(p)$ є природним узагальненням $F$ і зберігає чимало її властивостей. Для $F=F(2)$ існує скінченне задання:

F=F(2)=\langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle

де $\left[x,y\right]$ є комутатором, тобто $xyx^{-1}y^{-1}$ .

Узагальнивши для $F(p)$ , матимемо $p$ твірних $x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ ,x_{p-1}$ і $p(p-1)$ визначальних співвідношень.

$F(p)$ можемо також задати як:

F(p)=\langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+p-1}\ \mathrm {,} \ k<n\rangle .

При $F=F(2)$ очевидно матимемо:

F=F(2)=\langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {,} \ k<n\rangle .

Нескінченне задання $F(2)$ пов'язане зі скінченним як $x_{0}=A,x_{n}=A^{1-n}BA^{n-1}$ для $n>0$ . Аби визначити метрику слів (або ж довжину елемента) користатимемось саме скінченним представленням.

Нормальна форма ред.

Зі співвідношення $x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+p-1}$ можемо отримати, що довільний елемент $F(p)$ подається в нормальній формі (НФ):

x_{k_{1}}^{r_{1}}x_{k_{2}}^{r_{2}}\dots x_{k_{i}}^{r_{i}}x_{n_{j}}^{-s_{j}}\dots x_{n_{2}}^{-s_{2}}x_{n_{1}}^{-s_{1}}

, де

\ k_{1}<k_{2}<\dots <k_{n}\neq n_{j}>\dots >n_{2}>n_{1}

Покажімо коректність для $F(2)$ . Перетворивши визначальне співвідношення, маємо

(1)

x_{n}x_{k}=x_{k}x_{n+1}

та

(2)

x_{k}^{-1}x_{n}=x_{n+1}x_{k}^{-1}

(1) гарантує, що ми завжди можемо впорядкувати $x_{k}$ -ті за зростанням чи спаданням індексу (залежно від того, в якій частині розкладу ми знаходимось). (2) забезпечує обмінювання додатнього елемента і від'ємного, тим самим відсортовуючи всі додатні елементи в лівій частині, а від'ємні — в правій частині НФ.

Таке представлення буде єдиним, якщо накладемо додаткову вимогу:

щойно в розкладі елемента трапляються і

x_{i}

, і

x_{i}^{-1}

, то має бути

x_{i+1}

або

x_{i+1}^{-1}

Оскільки інакше, завдяки (2) ми виконуватимемо обміннювання елементів $x_{i}$ і $x_{i}^{-1}$ з сусідніми, наближаючи їх один до одного доти, доки вони не стоятимуть поруч, і ми зможемо скоротити.

Зсуви ред.

Група F(p) дає змогу визначити зсув $\phi$ , який переводить $x_{i}$ в $x_{i+1}$ . Такий зсув задовільняє умові $x_{0}^{-1}\phi (x)x_{0}=\phi ^{p}(x)$ для всіх $x\in F(p)$ .

Інші задання ред.

Томпсонова група F породжується подібними операціями над двійковими деревами. Тут L і T є вузлами, а A, B і R можуть бути замінені більш розгалуженими деревами.

Група F також зображується з погляду операцій на впорядкованих кореневих двійкових деревах, або як група шматковолінійних гомеоморфізмів одиничного відрізка, що зберігають орієнтацію, недиференційовні крапки мають диадичні координати і всі похідні є ступенями двійки.

Група F може також розглядатися як дія на одиничному колі, визначаючись двома кінцевими точками одиничного відрізка, а група T як група автоморфізмів кола, отриманих шляхом додавання гомеоморфізму x→x +1/2 mod 1 до F. У двійкових деревах це відповідає перестановці двох дерев під коренем. Група V отримується з Т додаванням розривного відображення, яке діє незмінним чином на напівінтервалі [0,1/2) та обмінює [1/2,3/4) і [3/4,1). У двійкових деревах це відповідає обміну двох піддерев під правим нащадком кореня (якщо він існує).

Див. також ред.

Примітки ред.

Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R. (1996), Introductory notes on Richard Thompson's groups (PDF), L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série, 42 (3): 215—256, ISSN 0013-8584, MR 1426438, архів оригіналу (PDF) за 12 травня 2013, процитовано 3 квітня 2012
Cannon, J.W.; Floyd, W.J. (September 2011). WHAT IS...Thompson's Group? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (8): 1112—1113. ISSN 0002-9920. Архів оригіналу (PDF) за 4 листопада 2013. Процитовано 27 грудня 2011.
Higman, Graham (1974), Finitely presented infinite simple groups, Notes on Pure Mathematics, т. 8, Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, MR 0376874, архів оригіналу за 1 січня 2014, процитовано 3 квітня 2012
Metrics and embeddings of generalizations of Thompson's group F. Автори: J. Burillo; S. Cleary; M. I. Stein Journal: Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001) [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
Introduction to Thompson's Group F — Daniel Yeow [Архівовано 5 березня 2016 у Wayback Machine.]