В обчислювальній математиці , квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції . Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування ) n -точковою квадратурою Гаусса , або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса ), називається формула
∫
a
b
w
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
x
i
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).}
що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів x i і ваг w i при i = 1, …, n .
Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)
Формули основних квадратур
ред.
В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування
Інтервал
ω(x )
Ортогональні поліноми
Дивіться…
[−1, 1]
1
{\displaystyle 1\,}
Поліноми Лежандра
Квадратури Гаусса — Лежандра
(−1, 1)
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Поліноми Чебишова (першого роду)
Квадратури Гаусса — Чебишова
[−1, 1]
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
Поліноми Чебишова (другого роду)
Квадратури Гаусса — Чебишова
(−1, 1)
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
,
α
,
β
>
−
1
{\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,}
Поліноми Якобі
Квадратури Гаусса — Якобі
[0, ∞)
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}\,}
Поліноми Лаґерра
Квадратури Гаусса — Лаґерра
[0, ∞)
x
α
e
−
x
{\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}\,}
Узагальнені поліноми Лаґерра
Квадратури Гаусса — Лаґерра
(−∞, ∞)
e
−
x
2
{\displaystyle e^{-x^{2}}}
Поліноми Ерміта
Квадратури Гаусса — Ерміта
Квадратури Гаусса — Лежандра
ред.
Один з найпоширеніших випадків, коли
ω
(
x
)
=
1
{\displaystyle \omega (x)=1}
, тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра P n (x ), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів P n (x ). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n -го порядку формула має вигляд:
w
i
=
2
(
1
−
x
i
2
)
[
P
n
′
(
x
i
)
]
2
.
{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!}
Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i
1
0
{\displaystyle 0}
2
{\displaystyle 2}
0
2
2
±
1
/
3
{\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}}
1
{\displaystyle 1}
±0.57735027
1
3
0
{\displaystyle 0}
8
9
{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}
0
0.88888889
±
3
/
5
{\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}}
5
9
{\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}
±0.77459667
0.55555556
4
±
(
3
−
2
6
/
5
)
/
7
{\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}
18
+
30
36
{\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}
±0.33998104
0.65214515
±
(
3
+
2
6
/
5
)
/
7
{\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}
18
−
30
36
{\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}
±0.86113631
0.34785485
5
0
128
225
{\displaystyle {\tfrac {128}{225}}}
0
0.56888889
±
1
3
5
−
2
10
/
7
{\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}}
322
+
13
70
900
{\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}
±0.53846931
0.47862867
±
1
3
5
+
2
10
/
7
{\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}}
322
−
13
70
900
{\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}
±0.90617985
0.23692689
Квадратури Гаусса — Чебишова
ред.
Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції
w
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
використовують поліноми Чебишова першого роду T n , вузли й ваги будуть задані співвідношеннями:
x
i
=
cos
(
2
i
−
1
2
n
π
)
{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)}
w
i
=
π
n
{\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n}}}
Коли ж
w
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
використовують поліноми Чебишова другого роду U n , а вузли й ваги можна знайти зі співвідношень:
x
i
=
cos
(
i
n
+
1
π
)
{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right)}
w
i
=
π
n
+
1
sin
2
(
i
n
+
1
π
)
.
{\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n+1}}\sin ^{2}\left({\frac {i}{n+1}}\pi \right).\,}
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
поліноми першого роду
поліноми другого роду
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i
1
0
π
{\displaystyle \pi }
0
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
2
±
2
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
±
1
/
2
{\displaystyle \pm 1/2}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
3
0
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
0
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
±
3
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}
±
2
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}
π
8
{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}
4
±
2
+
2
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
±
(
5
+
1
)
/
4
{\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+1)/4}
π
5
−
5
40
{\displaystyle \pi {\frac {5-{\sqrt {5}}}{40}}}
±
2
−
2
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}
±
(
5
−
1
)
/
4
{\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}-1)/4}
π
5
+
5
40
{\displaystyle \pi {\frac {5+{\sqrt {5}}}{40}}}
5
0
π
5
{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}
0
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
±
10
+
2
5
/
4
{\displaystyle \pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}
±
3
/
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}
π
24
{\displaystyle {\frac {\pi }{24}}}
±
10
−
2
5
/
4
{\displaystyle \pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}
±
1
/
2
{\displaystyle \pm 1/2}
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
Квадратури Гаусса — Якобі
ред.
Для вагової функції
w
(
x
)
=
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
{\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}
де α і β > −1 використовують поліноми Якобі P n (α ,β ) (x ). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:
w
i
=
−
2
n
+
α
+
β
+
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
(
n
+
1
)
!
2
α
+
β
P
n
′
(
x
i
)
P
n
+
1
(
x
i
)
,
{\displaystyle w_{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}},}
Квадратури Гаусса — Лаґерра
ред.
Щоб порахувати інтеграл
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.}
можна скористатись поліномами Лаґерра L n . Вузли будуть коренями полінома L n , а ваги задані формулою:
w
i
=
x
i
(
n
+
1
)
2
[
L
n
+
1
(
x
i
)
]
2
.
{\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.}
В більш загальному випадку
w
(
x
)
=
x
α
e
−
x
{\displaystyle w(x)=x^{\alpha }e^{-x}}
використовують узагальнені поліноми Лаґерра L n (α)
Квадратури Гауса — Ерміта
ред.
Для обчислення інтегралу
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx}
вузли квадратури x i шукають як розв'язки поліномів Ерміта (фізичної версії) H n (x ), а відповідні ваги w i можна знайти:
w
i
=
2
n
−
1
n
!
π
n
2
[
H
n
−
1
(
x
i
)
]
2
{\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}}
Формули деяких модифікованих квадратур
ред.
Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.
Квадратури Гаусса — Радау
ред.
Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау ) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3 , але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
w
1
f
(
−
1
)
+
∑
i
=
2
n
w
i
f
(
x
i
)
+
E
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^{n}w_{i}f(x_{i})+E.}
Невідомі вузли xi для i = 2, …, n є коренями полінома
P
n
−
1
(
x
)
+
P
n
(
x
)
1
+
x
{\displaystyle {\frac {P_{n-1}(x)+P_{n}(x)}{1+x}}}
, де Pk , k -й поліном Лежандра .
Вага для першого вузла
w
1
=
2
n
2
{\displaystyle w_{1}={\frac {2}{n^{2}}}}
, решта визначаються за формулою:
w
i
=
1
−
x
i
[
n
P
n
−
1
(
x
i
)
]
2
=
1
(
1
−
x
i
)
[
P
n
−
1
′
(
x
i
)
]
2
{\displaystyle w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}}
Залишковий член:
E
=
2
2
n
−
1
n
[
(
n
−
1
)
!
]
4
[
(
2
n
−
1
)
!
]
3
f
(
2
n
−
1
)
(
ξ
)
,
(
−
1
<
ξ
<
1
)
.
{\displaystyle E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).}
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i
2
−
1
{\displaystyle -1}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
-1
0.5
1
/
3
{\displaystyle 1/3}
3
2
{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
0.33333333
1.6
3
−
1
{\displaystyle -1}
2
9
{\displaystyle {\tfrac {2}{9}}}
-1
0.22222222
1
−
6
5
{\displaystyle {\tfrac {1-{\sqrt {6}}}{5}}}
16
+
6
18
{\displaystyle {\tfrac {16+{\sqrt {6}}}{18}}}
-0.28989795
1.02497165
1
+
6
5
{\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {6}}}{5}}}
16
−
6
18
{\displaystyle {\tfrac {16-{\sqrt {6}}}{18}}}
0.68989795
0.75280613
4
-1
0.125
-0.575319
0.657689
0.181066
0.776387
0.822824
0.440924
5
-1
0.08
-0.72048
0.446208
-0.167181
0.623653
0.446314
0.562712
0.885792
0.287427
Квадратури Гаусса — Лобатто
ред.
Також відомі як квадратури Лобатто , названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто . Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3 , але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
w
1
f
(
−
1
)
+
w
n
f
(
1
)
+
∑
i
=
2
n
−
1
w
i
f
(
x
i
)
+
E
n
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+E_{n}.}
Вузли xi для i = 2, …, n-1 є i–1 -ми коренями полінома P'n-1 .
Перша й остання ваги
w
1
,
n
=
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle w_{1,n}={\frac {2}{n(n-1)}}}
, а решта:
w
i
=
2
n
(
n
−
1
)
[
P
n
−
1
(
x
i
)
]
2
(
x
i
≠
±
1
)
.
{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).}
Залишок у вигляді:
E
n
=
−
n
(
n
−
1
)
3
2
2
n
−
1
[
(
n
−
2
)
!
]
4
(
2
n
−
1
)
[
(
2
n
−
2
)
!
]
3
f
(
2
n
−
2
)
(
ξ
)
,
(
−
1
<
ξ
<
1
)
{\displaystyle E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)}
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n
Точні значення
Заокруглені значення
Вузли, x i
Ваги, w i
Вузли, x i
Ваги, w i
3
{\displaystyle 3}
0
{\displaystyle 0}
4
3
{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}
0
1.33333333
±
1
{\displaystyle \pm 1}
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
±1
0.33333333
4
{\displaystyle 4}
±
1
/
5
{\displaystyle \pm {\sqrt {1/5}}}
5
6
{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}
±0.44721360
0.83333333
±
1
{\displaystyle \pm 1}
1
6
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}
±1
0.16666667
5
{\displaystyle 5}
0
{\displaystyle 0}
32
45
{\displaystyle {\tfrac {32}{45}}}
0
0.71111111
±
3
/
7
{\displaystyle \pm {\sqrt {3/7}}}
49
90
{\displaystyle {\tfrac {49}{90}}}
0.65465367
0.54444444
±
1
{\displaystyle \pm 1}
1
10
{\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}
±1
0.1
6
{\displaystyle 6}
(
7
−
2
7
)
/
21
{\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7-2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}
14
+
7
30
{\displaystyle {\tfrac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}
0.28523151
0.55485838
(
7
+
2
7
)
/
21
{\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7+2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}
14
−
7
30
{\displaystyle {\tfrac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}
0.76505532
0.37847496
±
1
{\displaystyle \pm 1}
1
15
{\displaystyle {\tfrac {1}{15}}}
±1
0.06666667
Квадратури Гаусса — Кронрода
ред.
Зміна інтервалу інтегрування
ред.
Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a , b ] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
b
−
a
2
∫
−
1
1
f
(
b
−
a
2
z
+
a
+
b
2
)
d
z
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}z+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dz.}
Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
2
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
b
−
a
2
z
i
+
a
+
b
2
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}z_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}
Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2004.