Альтернативні визначення
ред.
Твірна функція
ред.
∑
k
=
1
∞
H
k
z
k
=
−
ln
(
1
−
z
)
1
−
z
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}}
Властивості
ред.
Значення від нецілого аргументу
ред.
H
1
/
2
=
2
−
2
ln
2
{\displaystyle H_{1/2}=2-2\ln 2}
H
1
/
3
=
3
−
3
ln
3
2
−
π
2
3
{\displaystyle H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}
H
1
/
4
=
4
−
3
ln
2
−
π
2
{\displaystyle H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}}
H
1
/
5
=
5
−
5
ln
5
4
−
1
2
1
+
2
5
π
−
5
2
ln
φ
,
{\displaystyle H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,}
де
φ
{\displaystyle \varphi }
— золотий перетин .
H
1
/
7
=
7
−
ln
14
−
π
2
c
t
g
π
7
−
2
cos
(
π
7
)
ln
(
cos
π
14
)
+
2
sin
(
3
π
14
)
ln
(
sin
π
7
)
−
2
sin
(
π
14
)
ln
(
cos
3
π
14
)
{\displaystyle H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)}
Суми, пов'язані з гармонічними числами
ред.
∑
k
=
1
n
H
k
=
(
n
+
1
)
H
n
−
n
=
(
n
+
1
)
(
H
n
+
1
−
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
=
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty }
∑
k
=
1
∞
H
k
k
2
=
2
ζ
(
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
3
=
1
2
ζ
(
2
)
2
=
5
4
ζ
(
4
)
=
π
4
72
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}}
∑
k
=
1
∞
H
k
k
4
=
3
ζ
(
5
)
−
ζ
(
2
)
ζ
(
3
)
=
3
ζ
(
5
)
−
π
2
6
ζ
(
3
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)}
Тотожності, пов'язані з гармонічними числами
ред.
(
H
n
)
3
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
1
i
j
k
{\displaystyle (H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}}
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
−
1
∑
k
=
j
+
1
1
1
i
j
k
=
1
2
H
n
(
H
n
2
−
ζ
n
(
2
)
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))}
, де
ζ
n
(
2
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
2
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}
ζ
n
(
2
)
=
(
H
n
)
2
−
∑
k
=
1
n
−
1
2
H
k
k
+
1
−
1
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1}
, де
ζ
n
(
2
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
2
{\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}
H
n
2
+
1
=
(
H
n
)
2
+
∑
k
=
1
n
−
1
(
H
(
k
+
1
)
2
−
1
−
2
H
k
k
+
1
−
H
k
2
)
{\displaystyle H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)}
Наближене обчислення
ред.
За допомогою формули підсумовування Ейлера — Маклорена отримуємо таку формулу:
H
n
=
ln
n
+
γ
+
1
2
n
+
∑
k
=
1
m
B
2
k
2
k
n
2
k
−
θ
m
,
n
B
2
m
+
2
(
2
m
+
2
)
n
2
m
+
2
,
{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}
де
0
<
θ
m
,
n
<
1
{\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}
,
γ
{\displaystyle \gamma }
— стала Ейлера , яку можна обчислити швидше з інших міркувань[яких? ] , а
B
k
{\displaystyle B_{k}}
— числа Бернуллі .
Теоретико-числові властивості
ред.
Теорема Волстенголма стверджує, що для будь-якого простого числа
p
>
3
{\displaystyle p>3}
виконується порівняння:
H
p
−
1
≡
0
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}
Деякі значення гармонічних чисел
ред.
H
1
=
1
H
2
=
3
2
=
1
,
5
H
3
=
11
6
≈
1,833
H
4
=
25
12
≈
2,083
H
5
=
137
60
≈
2,283
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}
H
6
=
49
20
=
2
,
45
H
7
=
363
140
≈
2,593
H
8
=
761
280
≈
2,718
H
10
3
≈
7,484
H
10
6
≈
14,393
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}
Чисельник і знаменник нескоротного дробу, що являє собою n -e гармонійне число, є n -ми членами цілочисельних послідовностей A001008 і A002805, відповідно.
Застосування
ред.
Див. також
ред.
Примітки
ред.
Література
ред.