Віддаль між двома точками

Ві́ддаль між двома́ то́чками — довжина уявного відрізка, кінцями якого є ці точки. Найкоротший шлях, яким можна дістатися з однієї точки в іншу.

Віддаль в аналітичній геометрії ред.

Докладніше: Евклідова відстань

В аналітичній геометрії віддаль між двома точками A(x₁, y₁) і B(x₂, y₂) на площині можна знайти за формулою

d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}

, яка легко доводиться завдяки теоремі Піфагора.

Якщо позначити різницю (x₂ — x₁) як $\ \Delta x$ , а (y₂ — y₁) як $\ \Delta y$ , формула набуває вигляду:

d={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}

.

У тривимірному просторі віддаль між точками знаходиться майже так само:

d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}

.

У n-мірному евклідовому просторі віддаль між точками знаходиться за формулою

d={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\ldots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.

Віддаль у метричному просторі ред.

В метричному просторі M віддаль між двома точками $\rho (A,B)$ можна знайти за формулою $\rho (A,B)=\inf _{\gamma (A,B)}L(\gamma (A,B))$ , де $\gamma (A,B)$ — будь-яка крива, що з'єднує точки A та B, а $L(\gamma (A,B))$ — довжина цієї кривої.

В повному метричному просторі завжди знайдеться крива, на якій досягається віддаль між двома точками простору. Така крива називається найкоротшою. Найкоротших кривих може бути декілька.

Див. також ред.

Джерела ред.

Погорєлов О. В. Геометрія: Підруч. для 7—9 кл. серед. шк.— 3-тє вид.— К.: Освіта, 1998.— 115 с.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? [Архівовано 7 січня 2016 у Wayback Machine.] // «Популярные лекции по математике» [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.]. — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.

Посилання ред.

Відстань між двома точками // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 81. — 594 с.