Вписаний чотирикутник

В Евклідовій геометрії вписаний чотирикутник ^[1]^:стор.53— це чотирикутник, вершини якого лежать на одному колі.

Це коло називається описаним колом, а вершини є конциклічними. Центр описаного навколо чотирикутника кола лежить на перетині його серединних перпендикулярів.

Інші назви цих чотирикутників — це конциклічні чотирикутники та хордальні чотирикутники, оскільки сторони чотирикутника — це хорди описаного кола.

Вписаний чотирикутник може бути опуклим або перехрещеним чотирикутником. Формули та властивості, наведені нижче, стосуються опуклих вписаних чотирикутників.

Особливі випадки ред.

Приклади вписаних чотирикутників.

Не кожен чотирикутник можна вписати в коло. Прикладом чотирикутника, який не можна вписати, є не квадратний ромб, або нерівнобічна трапеція.

Будь-який квадрат, прямокутник, рівнобедрену трапецію або антипаралелограм можна вписати в коло. ^[1]^:стор.54

Дельтоїд можна вписати, тоді і лише тоді, коли він має два протилежні прямі кути, що лежать між сторнами різної довжини, тобто коли дельтоїд є прямокутним.

Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним.

Зовні-біцентричний^[en] чотирикутник ‒ це вписаний чотирикутник, який є також зовні-описаним.

Зовні-описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, у якого прямі, на яких лежать його сторони, є дотичними до певного кола поза чотирикутником.

Гармонійний чотирикутник — це чотирикутник, який можна вписати в коло та добутки довжин протилежних сторін якого рівні.

Пов'язані визначення ред.

Вписаний чотирикутник.Бівисоти та бімедіани.

Для кожної сторони вписаного чотирикутника можна провести пряму, яка буде перпендикулярна цій стороні і проходити через середину протилежної сторони.

Відрізки цих прямих між сторонами називають бівисотами^[2] (або антимедіатрисами, по аналогії із серединним перпендикуляром (медіатрисою) до сторони трикутника). Опуклий вписаний чотирикутник має чотири бівисоти (KY, LV, MX та NW), які є конкурентними прямими, тобто перетинаються в одній точці Т — антицентрі чотирикутника ^[3]^{:стор.131;} ^[4].

Відрізки, що сполучають середини протилежних сторін (KM, LN), називаються бімедіанами чотирикутника.

Бімедіани чотирикутника перетинаються в точці G_v — вершинному центроїді чотирикутника (центр тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника).

Умови, за яких чотирикутник є вписаним ред.

Вписаний чотирикутник

ABCD

У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був вписаним.

Опуклий чотирикутник можна вписати тоді й лише тоді, коли чотири перпендикуляри до середин сторін є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці. Ця спільна точка є центром описаного кола^[5].

Сума протилежних кутів.

Опуклий чотирикутник $ABCD$ можна вписати тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює180⁰ ^[1]^:стор.53 ^[5], ^[6]:

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ (=180^{\circ }).

Ця теорема є положенням 22 в трактаті Евкліда «Начала»^[7].

Прямі m1 та m2 антипаралельні відносно прямих l1 та l2

Це твердження еквівалентне наступному:

Опуклий чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли кожен його зовнішній кут дорівнює протилежному внутрішньому куту.

Тобто, якщо дві протилежні сторони чотирикутника є антипаралельними^[en] відносно двох інших сторін.

Наслідок:

В термінах тангенсів половинних кутів, це твердження можна записати наступним чином:

{\begin{aligned}{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\beta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}=90^{\circ },\\\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}\right)=\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\beta }{2}}+{\frac {\delta }{2}}\right)=\mathop {\mathrm {tg} } 90^{\circ },\\{\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{1-\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\delta }{2}}\right)}{1-\mathrm {tg} \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\delta }{2}}\right)}}=\infty \end{aligned}}

Це означає, що чотирикутник вписано тоді і тільки тоді, коли виконується рівність^[8]: $\mathrm {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \mathrm {tg} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\mathrm {tg} \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \mathrm {tg} \left({\frac {\delta }{2}}\right)=1.$

Кути між сторонами та діагоналями.

Ще одна необхідна і достатня умова, щоб опуклий чотирикутник $ABCD$ був вписаним — кут між стороною та діагоналлю повинен дорівнювати куту між протилежною стороною та іншою діагоналлю ^[9]^{:стор.66, задача,} ^[10] ^{:стор.45-46}.

Тобто, наприклад, $\angle ABD=\angle ACD.$

Теорема Птолемея виражає добуток довжин двох діагоналей p і q вписаного чотирикутника, як суму добутків протилежних сторін ^[11]^:стор.25, ^[6] ^[12]^:стор.67:

p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.

Має місце обернена теорема. Тобто, якщо ця рівність виконується для опуклого чотирикутника, тоді він є вписаним в коло.

Теорема про перетин хорд.

Якщо дві прямі, одна, що містить відрізок $AC$ , а інша, що містить відрізок $BD$ , перетинаються в точці $P$ , то чотири точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ є конциклічними (тобто, є вершинами вписаного чотирикутника, без урахування порядку вершин), тоді й лише тоді, коли^[13]

\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.

Точка перетину $P$ може бути як зовні так і всередині кола. У першому випадку описаний чотирикутник — $ABCD$ , а в другому випадку вписаний чотирикутник — $ABDC$ . Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який $P$ ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це твердження відомо як теорема про перетин хорд, оскільки діагоналі вписаного чотирикутника є хордами.

ABCD

— вписаний чотирикутник.PFG — діагональний трикутник

ABCD

. Точка T перетину бімедіан

ABCD

належить колу дев'яти точок трикутника PFG.

Нехай PFG є діагональним трикутником в опуклому чотирикутнику ABCD (точка P ‒ точка перетину діагоналей чотирикутника, G ‒ точка перетину продовжень сторін AB та DC, F ‒ точка перетину продовжень сторін AD та BC). І нехай $\omega$ ‒ коло дев'яти точок трикутника PFG.

ABCD можна вписати в коло тоді і лише тоді, коли точка T перетину бімедіан KL та XV чотирикутника ABCD належить цьому колу дев'яти точок.^[6] ^[14] ^[15].

Чотирикутник вписаний в коло, якщо точки О, Р, Q лежать на одній прямій

Точки Паскаля

Нехай в опуклому чотирикутнику ABCD, E ‒ точка перетину діагоналей, а F ‒ точка перетину продовжень сторін AD та BC. І нехай $\omega$ ‒ коло, діаметром якого є відрізок EF, що формує на сторонах AB та CD точки Паскаля P та Q (див. мал.)

(1) Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q колінеарні з центром O кола $\omega$ .

(2) Чотирикутник ABCD є вписаним тоді і лише тоді, коли точки P та Q є серединами сторін AB та CD.^[6]

Площа ред.

Вписаний чотирикутник

Площа $S$ вписаного чотирикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ обчислюється за формулою Брахмагупти ^[11]^:стор.24

S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

де півпериметр $s = 12 (a + b + c + d)$ .

Формула є наслідком формули Бретшнайдера для довільного чотирикутника, оскільки протилежні кути є суміжними для вписаного чотирикутника.

Якщо $d = 0$ , то вписаний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до формули Герона.

Формулу Брамагупти можна записати через довжини сторін чотирикутника наступним чином:

$S={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8~abcd-2~(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}$

Вписаний чотирикутник має максимальну площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність довжин сторін. Це ще один наслідок формули Бретшнайдера. Також це можна довести за допомогою математичного аналізу ^[16].

Якщо є чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми трьох інших, то вони будуть сторонами для трьох неконгруентних вписаних чотирикутників ^[17]^:стор.57, які за формулою Брахмагупти мають однакову площу. Зокрема, для сторін $a$ , $b$ , $c$ і $d$ сторона $a$ може бути протилежною будь-якій зі сторін $b$ , $c$ або $d$ .

Площу вписаного чотирикутника з послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ та кутом $B$ між сторонами $a$ і $b$ можна виразити як ^[11]^:стор.25

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

або ^[11]^:стор.26

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\varphi }

,

де $\varphi$ — будь-який кут між діагоналями.

За умови, що $A$ не є прямим кутом, площа також може бути виражена як ^[11]^:стор.26

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\mathrm {tg} {A}.

Інша формула така ^[18]^:стор.83

S=2R^{2}\cdot \sin {A}\sin {B}\sin {\varphi },

де $R$ — радіус описаного кола. Як прямий наслідок цієї формули ^[19],

S\leqslant 2R^{2}

де рівність буде, тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.

Діагоналі ред.

Вписаний чотирикутник

У вписаному чотирикутнику з послідовними вершинами $A$ , $B$ , $C$ , $D$ і сторонами $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ і $d = DA$ , довжини діагоналей $p = AC$ і $q = BD$ можна виразити через довжини сторін як ^[11]^{:стор.25,} ^[20] ^[21]^{:стор. 84}

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

та

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

,

що доводить теорему Птолемея

p\cdot q=a\cdot c+b\cdot d.

Відповідно до другої теореми Птолемея ^[11]^{:стор.25,} ^[20]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

,

в тих же позначеннях, що і вище.

Для суми діагоналей маємо нерівність^[22]^{:стор.123,#2975}

p+q\geqslant 2{\sqrt {ac+bd}}.

Рівність справедлива тоді й лише тоді, коли діагоналі мають однакову довжину, що можна довести за допомогою нерівності середнього арифметичного та геометричного.

Більше того^[22]^{:стор.64,#1639},

(p+q)^{2}\leqslant (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

У будь-якому опуклому чотирикутнику дві діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники; у вписаному чотирикутнику протилежні пари цих чотирьох трикутників подібні між собою.

Якщо $M$ і $N$ — середини діагоналей $AC$ і $BD$ , а точки $E$ і $F$ — точки перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони чотирикутника, то^[23] :

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|,

Якщо діагоналі $AC$ і $BD$ вписаного чотирикутника $ABCD$ перетинаються у точці P, то^[24]

{\frac {AP}{PC}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Множина сторін, які можуть утворювати вписаний чотирикутник, може бути впорядкована у будь-якій з трьох різних послідовностей, кожна з яких може утворювати вписаний чотирикутник тієї самої площі в одному і тому ж колі (їх площа буде однакова за формулою площі Брахмагупти). Будь-які з цих вписаних чотирикутників мають одну спільну довжину діагоналі^[21]^{:стор. 84}.

Формули кута ред.

Для вписаного чотирикутника із послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , півпериметром $s$ та кутом $A$ між сторонами $a$ та $d$ тригонометричні функції від $A$ задаються формулами^[25]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\mathrm {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

Кут $φ$ між діагоналями можна знайти за формулою: ^[11]^:стор.26

\mathrm {tg} {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Якщо продовження протилежних сторін $a$ і $c$ перетинаються під кутом $θ$ , то

\cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}},

де $s$ — півпериметр ^[11]^:стор.31.

Формула описаного кола Парамешвара ред.

Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ і півпериметром $s$ має описане коло радіуса^[20]^[26]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.

Цю формулу отримав індійський математик Ватассері Парамешвара^[en] у 15 столітті.

Якщо скористатися формулою Брахмагупти, формулу Парамешвари можна отримати в наступному вигляді:

4S\cdot R={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},

де S — площа вписаного чотирикутника.

Інші властивості ред.

Японська теорема

Японська теорема про вписаний чотирикутник.

У вписаному чотирикутнику $ABCD$ інцентри M₁, M₂, M₃, M₄ (див. рисунок праворуч) у трикутниках $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ , та $CDA$ є вершинами прямокутника. Крім того, якщо точки P, Q, R, S є серединами відповідно дуг AB, BC, CD та AD описаного кола, то відрізки PR та QS є паралельними до сторін цього прямокутника і перетинаються в його центрі. ^[27]^{:стор.43-44}.

Сума радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABC та ∆ACD дорівнює сумі радіусів вписаних кіл трикутників ∆ABD та ∆BCD ^[12]^:стор.67.

Узагальнення японської теореми про вписаний чотирикутник

Також, якщо з'єднати між собою центроїди G_A, G_B, G_C, G_D трикутників ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD, їх центри кіл дев’яти точок N_A, N_B, N_C, N_D, та їх ортоцентри H_A, H_B, H_C, H_D, отримаємо три чотирикутника, що подібні до вихідного чотирикутника ABCD. А чотирикутник H_AH_BH_CH_D крім того є ще і конгруентним (рівним) ABCD.^[10], ^[27]^{:стор.43-44}.

Нехай у вписаному опуклому чотирикутнику ABCD:

G – точка перетину прямих G_AG_C та G_BG_D,

Н – точка перетину прямих H_AH_C та H_BH_D.

O – центр описаного кола.

Тоді, точки H, G і O лежать на одній прямій і HG:GO = 2:1.

Наслідок теореми про вписаний кут та теореми про зовнішній кут.

У вписаному чотирикутнику $ABCD$ з центром описаного кола — $O$ , через $P$ позначимо точку, в якій перетинаються діагоналі $AC$ і $BD$ . Тоді кут $APB$ — це середнє арифметичне кутів $AOB$ і $COD$ .

Не існує вписаних чотирикутників площа яких є раціональним числом, а сторони є нерівними раціональними числами або в арифметичній, або в геометричній прогресії ^[28].

Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін, які утворюють арифметичну прогресію, чотирикутник також є зовнішньо-описаним.
Якщо прямі на яких лежать протилежні сторони вписаного чотирикутника перетинаються в точках $E$ та $F$ , то внутрішні бісектриси кутів в точках E і F — перпендикулярні ^[17] ^:стор.60.
Узагальненням до теореми Птолемея є: теорема Пурсера, та перша та друга теореми Кейсі.

Чудові точки та лінії чотирикутника ред.

Антицентр та колінеарність

У вписаному в коло чотирикутнику, чотири його бівисоти перетинаються в одній точці Н. Ця точка називається антицентром чотирикутника.

Доведення

Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма. При симетрії відносно точки перетину діагоналей цього паралелограма, бівисоти переходять в серединні перпендикуляри до сторін цього чотирикутника. Оскільки чотирикутник вписаний, то ці серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці ‒ центрі описаного кола. Як наслідок, перпендикуляри, що розглядаються (бівисоти), також перетинаються в одній точці.

Антицентр вписаного чотирикутника

В опуклому чотирикутнику дві його бімедіани перетинаються в точці G_v – вершинному центроїді чотирикутника, центру тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника

Антицентр має властивість бути відображенням центру описаного кола О відносно «вершинного центроїда». Таким чином, у вписаному чотирикутнику центр описаного кола, «вершинний центроїд» та антицентр є колінеарними^[4]^:стор.39, тобто, лежать на одній прямій. Крім того вершинний центроїд чотирикутника знаходиться в середині відрізка HO. Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Ейлера.
Нехай протилежні сторони AB та CD описаного чотирикутника перетинаються в точці Е. Точки S та Q - середини ціх сторін. Тоді, перпендикуляр, проведений з т Е на пряму SQ, проходить через антицентр H чотирикутника. ^[4]^:стор.41
Нехай центр О описаного кола чотирикутника симетрично відображено відносно його протилежних сторін в точки O₁ та O₂. Тоді пряма O₁O₂ проходить через антицентр H чотирикутника. ^[4]^:стор.41
Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в $P$ , а середні точки діагоналей позначено як $M$ і $N$ , то антицентр Н чотирикутника є ортоцентром трикутника $MNP$ ^[4]^:стор.39, а вершинний центроїд G_v чотирикутника знаходиться в середині відрізка MN (Пряма, що містить цей відрізок називається прямою Гауса)
Антицентр вписаного чотирикутника є точкою Понселе його вершин.

Центроїд площі G опуклого чотирикутника (в тому числі і вписаного в коло) знаходиться в точці перетину відрізків G_AG_C та G_BG_D, що сполучають центроїди трикутників, на які чотирикутник розділяється своїми діагоналями (∆ABD, ∆BCD, ∆ABC, ∆ACD).

У вписаному чотирикутнику "центроїд площі" G, "центроїд вершин" G_v і точка P перетину діагоналей лежать на одній прямій. Для відстаней між цими точками виконується рівність: ^[29]

$PG={\frac {4}{3}}PG_{v}$

Чотирикутники Брахмагупти ред.

Чотирикутник Брахмагупти ^[30] — це вписаний чотирикутник з цілими довжинами сторонами, цілими довжинами діагоналей та цілою площею. Усі чотирикутники Брахмагупти зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , діагоналями $e$ , $f$ , площею $K$ і радіусом описаного кола $R$ можна отримати, якщо позбутися знаменників^[en] в наступних виразах, що містять раціональні параметри $t$ , $u$ і $v$ :

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]

b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Вписаний чотирикутник з перпендикулярними діагоналями (ортодіагональний). ред.

Описане коло і площа ред.

Для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним (має перпендикулярні діагоналі), припустимо, що перетин діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжини $p 1$ та $p 2$ , а іншу діагональ ділить на відрізки довжиною $q 1$ та $q 2$ . Тоді ^[31]^{:стор.104. задача 4-23} (перша рівність — це твердження 11 у «Книзі лем» Архімеда)

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

де $D$ — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі — це перпендикулярні хорди кола. З цих рівнянь випливає, що радіус описаного кола $R$ може бути виражений як

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

або, через сторони чотирикутника, як^[3]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

З цього також випливає^[3]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Таким чином, згідно з теоремою Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі $p$ і $q$ та відстань $x$ між серединами діагоналей як

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}

Формула для площі $S$ вписаного ортодіагонального чотирикутника через довжини сторін отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея і формули площі ортодіагонального чотирикутника. Результат ^[32]^{:стор.222}:

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Інші властивості ред.

У вписаному ортодіагональному чотирикутнику антицентр збігається з точкою перетину діагоналей ^[3].
Теорема Брамагупти стверджує, що для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр до будь-якої сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить протилежну сторону навпіл^[3] ^[4]^:стор.38
Якщо вписаний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від центру описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони^[3].
У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром описаного кола та точкою перетину діагоналей^[3].

Вписані сферичні чотирикутники ред.

У сферичній геометрії сферичний чотирикутник, утворений при перетині чотирьох великих кіл, буде вписаним тоді, і лише тоді, коли суми протилежних кутів однакові, тобто α + γ = β + δ для послідовних кутів α, β, γ, δ чотирикутника ^[33]. В одному напрямку ця теорема була доведена І. А. Лекселем у 1786 році ^[34]. Лексель показав, що у сферичному чотирикутнику, вписаному в мале коло сфери, суми протилежних кутів рівні, і що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Перша з цих теорем — сферичний аналог плоскої теореми, а друга теорема — їй дуально, тобто, вона є результатом заміни великих кіл та їх полюсів ^[35]. Кіпер та ін.^[36] довели обернену теорему: «Якщо суми протилежних сторін рівні в сферичному чотирикутнику, то для цього чотирикутника існує вписане коло».

Див. також ред.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Вписаний чотирикутник

Примітки ред.

↑ ^а ^б ^в Істер О.С. та 2021, стор.53.
↑ Weisstein, Eric W. Maltitude(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), Courier Dover, с. 131, 137—8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е Honsberger, Ross (1995), Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, т. 37, Cambridge University Press, с. 174: стор.35–39, ISBN 978-0-88385-639-0, архів оригіналу за 22 вересня 2021
↑ ^а ^б Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), 10. Cyclic quadrilaterals, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, с. 104: 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
↑ ^а ^б ^в ^г Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51(6): 913—938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772, архів оригіналу за 22 січня 2022, процитовано 6 червня 2022
↑ Joyce, D. E. (June 1997), Book 3, Proposition 22, Euclid's Elements, Clark University, процитовано 15 грудня 2019
↑ Hajja, Mowaffaq (2008), A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103—6, архів оригіналу (PDF) за 26 листопада 2019, процитовано 15 грудня 2019
↑ Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., 2021.
↑ ^а ^б Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063
↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж ^и ^к Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8, архів оригіналу за 22 вересня 2021, процитовано 15 грудня 2019
↑ ^а ^б K. S. Kedlaya, Geometry Unbound, 2006
↑ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422
↑ Fraivert, David (July 2019). New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette. 103 (557): 222—232. doi:10.1017/mag.2019.53.
↑ Fraivert, David (2018). New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1): 5—16. Архів оригіналу (PDF) за 7 червня 2019. Процитовано 15 грудня 2019.
↑ Peter, Thomas (September 2003), Maximizing the area of a quadrilateral, The College Mathematics Journal, 34 (4): 315—6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770
↑ ^а ^б Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula, Geometry Revisited (PDF), Mathematical Association of America, с. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
↑ Prasolov, Viktor, Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry (PDF), архів оригіналу (PDF) за 21 вересня 2018, процитовано 6 листопада 2011
↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9, архів оригіналу за 20 серпня 2021, процитовано 15 грудня 2019
↑ ^а ^б ^в Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), On the diagonals of a cyclic quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147—9, архів оригіналу (PDF) за 11 липня 2021, процитовано 15 грудня 2019
↑ ^а ^б Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
↑ ^а ^б Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», 2007, [1] [Архівовано 30 серпня 2017 у Wayback Machine.].
↑ ABCD is a cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively... Art of Problem Solving. 2010.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)
↑ Олександр Богомольний^[en], An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] [Архівовано 28 травня 2019 у Wayback Machine.], Accessed 18 March 2014.
↑ Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, с. 202, OCLC 429528983
↑ Hoehn, Larry (March 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette, 84 (499): 69—70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477
↑ ^а ^б Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry., London: Penguin, с. 263:43-44, ISBN 0-14-011813-6
↑ Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999), Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 59 (2): 263—9, doi:10.1017/S0004972700032883, MR 1680787
↑ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral. (PDF)
↑ Sastry, K.R.S. (2002). Brahmagupta quadrilaterals (PDF). Forum Geometricorum. 2: 167—173. Архів оригіналу (PDF) за 22 квітня 2018. Процитовано 16 грудня 2019.
↑ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996), Challenging Problems in Geometry (PDF) (вид. 2-ге), Courier Dover, с. 244: стор 104, ISBN 978-0-486-69154-1, архів оригіналу (PDF) за 2 серпня 2023, процитовано 2 серпня 2023
↑ Josefsson, Martin (2016), Properties of Pythagorean quadrilaterals, Математичний вісник^[en], 100 (July): 213—224, doi:10.1017/mag.2016.57.
↑ Wimmer, Lienhard (2011). Cyclic polygons in non-Euclidean geometry. Elemente der Mathematik. 66 (2): 74—82.
↑ Lexell, A. J. (1786). De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58—103.
↑ Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Т. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.
↑ Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 травня 2012). Homothetic Jitterbug-like linkages. Mechanism and Machine Theory. 51: 145—158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

Література ред.

Істер О.С. Геометрія: 8 клас. — Київ : Генеза, 2021. — С. 240. — ISBN 978-966-11-1191-1.
Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге. переробл. — Харків : Гімназія, 2021. — С. 208 : стор. 63, 66. — ISBN 978-966-474-275-4.

D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

Посилання ред.

Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral [Архівовано 21 червня 2011 у Wayback Machine.]
Incenters in Cyclic Quadrilateral [Архівовано 30 грудня 2010 у Wayback Machine.] в cut-the-knot
Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral [Архівовано 30 грудня 2010 у Wayback Machine.] в cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral [Архівовано 10 грудня 2019 у Wayback Machine.] в Dynamic Geometry Sketches [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.], інтерактивне геометричне креслення.

[FOOTNOTEІстер_О.С.2021стор.53-1] а ^б ^в Істер О.С. та 2021, стор.53.

[2] Weisstein, Eric W. Maltitude(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[Altshiller-Court-3] а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), Courier Dover, с. 131, 137—8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045

[Honsberger-4] а ^б ^в ^г ^д ^е Honsberger, Ross (1995), Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, т. 37, Cambridge University Press, с. 174: стор.35–39, ISBN 978-0-88385-639-0, архів оригіналу за 22 вересня 2021

[Usiskin-5] а ^б Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), 10. Cyclic quadrilaterals, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, с. 104: 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-6] а ^б ^в ^г Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51(6): 913—938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772, архів оригіналу за 22 січня 2022, процитовано 6 червня 2022

[7] Joyce, D. E. (June 1997), Book 3, Proposition 22, Euclid's Elements, Clark University, процитовано 15 грудня 2019

[:0-8] Hajja, Mowaffaq (2008), A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103—6, архів оригіналу (PDF) за 26 листопада 2019, процитовано 15 грудня 2019

[FOOTNOTEМерзляк_А.Г.,_Полонський_В.Б.2021-9] Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., 2021.

[Andreescu-10] а ^б Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063

[Durell-11] а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж ^и ^к Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8, архів оригіналу за 22 вересня 2021, процитовано 15 грудня 2019

[K._S._Kedlaya-12] а ^б K. S. Kedlaya, Geometry Unbound, 2006

[13] Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422

[14] Fraivert, David (July 2019). New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette. 103 (557): 222—232. doi:10.1017/mag.2019.53.

[15] Fraivert, David (2018). New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1): 5—16. Архів оригіналу (PDF) за 7 червня 2019. Процитовано 15 грудня 2019.

[16] Peter, Thomas (September 2003), Maximizing the area of a quadrilateral, The College Mathematics Journal, 34 (4): 315—6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770

[Coxeter-17] а ^б Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula, Geometry Revisited (PDF), Mathematical Association of America, с. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2

[18] Prasolov, Viktor, Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry (PDF), архів оригіналу (PDF) за 21 вересня 2018, процитовано 6 листопада 2011

[Alsina-19] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9, архів оригіналу за 20 серпня 2021, процитовано 15 грудня 2019

[Alsina2-20] а ^б ^в Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), On the diagonals of a cyclic quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147—9, архів оригіналу (PDF) за 11 липня 2021, процитовано 15 грудня 2019

[Johnson-21] а ^б Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[Crux-22] а ^б Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», 2007, [1] [Архівовано 30 серпня 2017 у Wayback Machine.].

[23] ABCD is a cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively... Art of Problem Solving. 2010.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)

[24] Олександр Богомольний^[en], An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] [Архівовано 28 травня 2019 у Wayback Machine.], Accessed 18 March 2014.

[25] Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, с. 202, OCLC 429528983

[26] Hoehn, Larry (March 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette, 84 (499): 69—70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477

[Wells_D.-27] а ^б Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry., London: Penguin, с. 263:43-44, ISBN 0-14-011813-6

[Buchholz-28] Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999), Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 59 (2): 263—9, doi:10.1017/S0004972700032883, MR 1680787

[29] Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral. (PDF)

[30] Sastry, K.R.S. (2002). Brahmagupta quadrilaterals (PDF). Forum Geometricorum. 2: 167—173. Архів оригіналу (PDF) за 22 квітня 2018. Процитовано 16 грудня 2019.

[31] Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996), Challenging Problems in Geometry (PDF) (вид. 2-ге), Courier Dover, с. 244: стор 104, ISBN 978-0-486-69154-1, архів оригіналу (PDF) за 2 серпня 2023, процитовано 2 серпня 2023

[32] Josefsson, Martin (2016), Properties of Pythagorean quadrilaterals, Математичний вісник^[en], 100 (July): 213—224, doi:10.1017/mag.2016.57.

[33] Wimmer, Lienhard (2011). Cyclic polygons in non-Euclidean geometry. Elemente der Mathematik. 66 (2): 74—82.

[34] Lexell, A. J. (1786). De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58—103.

[35] Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Т. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.

[36] Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 травня 2012). Homothetic Jitterbug-like linkages. Mechanism and Machine Theory. 51: 145—158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]