Виділення квадрату

В елементарній алгебрі виділення квадрату — це методика перетворення квадратного тричлена.

На анімації зображено процес виділення квадрату

$ax^{2}+bx+c$

до вигляду

$a(x-h)^{2}+k$

де h і k — це деякі значення.

Виділення квадрату використовується при

• розв'язуванні квадратних рівнянь,
• при виведенні формули розв'язків квадратного рівняння,
• побудові графіків квадратичних функцій,
• оцінці інтегралів, наприклад, гаусових інтегралів з лінійною функцією в експоненті,
• пошуку перетворення Лапласа.

В математиці виділення квадрату часто використовується в різних обчисленнях із застосуванням квадратних тричленів.

Огляд

Уявлення

Формула з елементарної алгебри для обчислення квадрата двочлена:

$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$

Наприклад:

${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$

У будь-якому повному квадраті, коефіцієнт біля х у два рази перевищує число p, а вільний член дорівнює p².

Простий приклад

Розглянемо наступний квадратний поліном:

$x^{2}+10x+28.$

Він не є повним квадратом, оскільки 28 не квадрат числа 5:

$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$

Однак, можна цей тричлен представити у вигляді суми повного квадрату і числа:

$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$

Це і називається виділенням повного квадрату.

Основний опис

Розглянемо довільний квадратний тричлен з коефіцієнтом при старшому члені 1 (нормований тричлен):

$x^{2}+bx+c,$

а також квадрат двочлена

$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$

Ці тричлени відрізняються тільки на сталу величину — в них різні вільні члени. Таким чином, ми можемо написати

$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$

де $k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}$. Така операція називається виділенням квадрату. Наприклад:

${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$

Узагальнення основного опису

Розглянемо квадратний тричлен вигляду

$ax^{2}+bx+c$

Винесемо коефіцієнт при старшому члені за дужки, отримаємо випадок, описаний вище.

Приклад:

${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$

Це дозволяє нам представити довільний квадратний тричлен у формі

$a(x-h)^{2}+k.$

Формула

Скалярний вигляд

Для виділення повного квадрату можна використовувати формули. Для загального випадку:

$ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{та}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$

Зокрема, коли а = 1:

$x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.$

Матричний вигляд

Матричний вигляд дуже схожий:

$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{де}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b$

де $A$ має бути симетричною.

Якщо $A$ не симетрична, формули $h$ і $k$ мають такий вигляд:

$h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{і}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$.

Графічне представлення

В аналітичній геометрії, графік будь-якої квадратичної функції є парабола в ху-площині. Враховуючи вигляд квадратного тричлена

$(x-h)^{2}+k\quad {\text{або}}\quad a(x-h)^{2}+k$

числа h та k можуть бути інтерпретовані як декартові координати вершини параболи. Тобто, h — це х-координата осі симетрії (наприклад, вісь симетрії має рівняння х = h), і k — це мінімальне значення (або максимальне значення, Якщо а < 0) квадратичної функції.

Один зі способів переконатися у цьому — зверніть увагу, що графік функції ƒ(х) = х² є парабола з вершиною в початку координат (0, 0). Таким чином, графік функції ƒ(x − h) = (x − h)² є парабола зміщена вправо на h з вершиною в (h, 0), як показано у верхній частині малюнка. На відміну від попереднього графіка функції, ƒ(х) + k = x² + k — це парабола зміщена вгору на k з вершиною в (0, k), як показано в центрі малюнка. Поєднання горизонтального і вертикального зміщень дає ƒ(x − h) + k = (x − h)² + k, при якому парабола зсувається вправо на h і вгору на k з вершиною в (h, k), як показано на нижньому малюнку.

Розв'язування квадратних рівнянь

Виділення квадрату може бути використане для розв'язання будь-якого квадратного рівняння. Наприклад:

$x^{2}+6x+5=0,$

Виділимо повний квадрат:

$(x+3)^{2}-4=0.$

Звідси маємо, що:

$(x+3)^{2}=4.$

Тому

$x+3=-2\quad {\text{або}}\quad x+3=2,$

і тому

$x=-5\quad {\text{або}}\quad x=-1.$

Це може бути застосовано до будь-якого квадратного рівняння. Коли коефіцієнт при х² відмінний від 1, першим кроком є поділ на рівняння на цей коефіцієнт.

Ірраціональні і комплексні корені

На відміну від методів, пов'язаних з розкладанням рівняння на множники, яке є надійним, тільки якщо корені раціональні, виділенням квадрату знайдемо корені квадратного рівняння навіть якщо ці корені є ірраціональними або комплексними. Наприклад, розглянемо рівняння

$x^{2}-10x+18=0.$

Виділення квадрата дає

$(x-5)^{2}-7=0,$

отже

$(x-5)^{2}=7.$

Потім

$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{або}}\quad x-5={\sqrt {7}},$

Лаконічніше:

$x-5=\pm {\sqrt {7}}.$

Отже,

$x=5\pm {\sqrt {7}}.$

Рівнянь з комплексними коренями можуть бути розв'язані таким же чином. Наприклад:

${\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}$

Загальний вигляд

Для незведених квадратних рівнянь першим кроком до їх розв'язання є розділити на коефіцієнт при х². Наприклад:

${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}$

Застосування

Інтегрування

Виділення квадрату може бути використане для обчислення інтегралів виду

$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$

з використанням основних інтегралів

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{і}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$

Наприклад, розглянемо інтеграл

$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$

Виділення квадрата в знаменнику дає:

$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$

Це може бути обчислено з допомогою підстановки у = х + 3, яка дає $\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$

Комплексні числа

Розглянемо вираз

$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$

де z і b є комплексними числами, z^* і b^* є комплексно спряжені до z, та b, відповідно, а c — це дійсне число. Використовуючи властивість |у|² = уу^* , ми можемо переписати вираз як

$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,$

що має дійсне значення. Це відбувається тому, що

${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$

Розглянемо інший приклад, вираз

$ax^{2}+by^{2}+c,$

де a, b, c, x і y — дійсні числа, причому а > 0 і b > 0, може бути виражена як квадрат абсолютного значення комплексного числа. Визначимо

$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$

Тоді

${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$

отже,

$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$

Ідемпотентна матриця

Матриця М є ідемпотентною, якщо М ² = М. Ідемпотентні матриці узагальнюють ідемпотентні властивості 0 і 1. Виділення квадрату в рівнянні

$a^{2}+b^{2}=a,$

показує, що деякими ідемпотентними 2 × 2 матрицями параметризують коло в (А, B)-площині.

Матриця ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ буде ідемпотентом за умови $a^{2}+b^{2}=a,$ що, при виділенні квадрату стає

$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$

В (А, B)-площині — це рівняння кола з центром у точці (1/2, 0) і радіусом 1/2.

Геометрична інтерпретація

Розглянемо виділення квадрату для рівняння

$x^{2}+bx=a.$

Оскільки х² являє собою площу квадрата зі стороною довжини х і bx являє собою площу прямокутника зі сторонами b і x, процес виділення квадрата можна розглядати як візуальні маніпуляції прямокутників.

Прості спроби об'єднати квадрат х² і прямокутник bx у великий квадрат не дають результату. Доданок (b/2)² потрібно додати до кожної сторони рівняння — це саме та ділянка, якої не вистачає до повного квадрату, звідки походить термін «виділити квадрат».

Використання у техніці

Зазвичай повний квадрат складається з трьох складових, додамо v ² до

$u^{2}+2uv$

щоб отримати квадрат. Є також випадки, в яких можна додати середній член тричлена, або 2uv або −2uv, щоб

$u^{2}+v^{2}$

стало повним квадратом.

Приклад: сума числа і оберненого до нього числа

Написавши

${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$

ми бачимо, що сума числа х і оберненого до нього числа завжди більше або дорівнює 2. Квадрат виразу завжди більше або дорівнює нулю, коли х дорівнює 1.

Приклад: розкладання многочлена 4-го степеня

Розглянемо проблему розкладання на множники многочлена

$x^{4}+324.$

Запишемо його у вигляді

$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$

тому середній член 2(х²)(18) = 36х². Таким чином, ми отримуємо

${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{різниця квадратів двох виразів}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$

Джерела

• Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8, стор 539—544
• Алгебра 2, Саксон, ISBN 0-939798-62-X, стор 214—214, 241—242, 256—257, 398—401

Посилання

• Completing the square на PlanetMath