Булеві операції над многокутниками

Бу́леві опера́ції над многоку́тниками або фігу́рами — це набір булевих операцій (AND, OR, NOT, XOR, …) над одним або декількома наборами многокутників у комп'ютерній графіці. Ці набори операцій поширені в комп'ютерній графіці, САПР та в проєктуванні електронних схем (фізичне розташування елементів інтегральних схем та програми перевірки).

Різні булеві операції над множинами, що належать двом фігурам (діаграми Венна).

Алгоритми

• Алгоритм відсікання Ґрайнера — Горманна
• Алгоритм відсікання Ватті
• Алгоритм Сазерленда — Годжмана (алгоритм для часткового випадку)
• Алгоритм Вайлера — Атертона (алгоритм для часткового випадку)

Застосування в програмуванні

Ранні алгоритми булевих операцій із многокутниками ґрунтувалися на бітових мапах. Використання бітових мап у моделюванні багатокутних фігур та операціях над ними має багато недоліків. Один з недоліків — може знадобитися дуже багато пам'яті, оскільки роздільність малюнка многокутника пропорційна числу пікселів, що використовуються для подання багатокутників. Що більша роздільність зображення, то більше біт потрібно зберігати в пам'яті.

Сучасне втілення булевих операцій над многокутниками використовує алгоритми замітання площини (або алгоритм замітання прямою). Список статей, що використовують алгоритм замітання прямою для булевих операцій над многокутниками, наведено в списку літератури.

Булеві операції над опуклими та монотонними многокутниками з однаковими напрямками можна здійснити за лінійний час.

Див. також

• Алгебра логіки
• Обчислювальна геометрія
• Конструктивна суцільна геометрія
• General Polygon Clipper (Загальне Відсікання Многокутника), бібліотека на C, що обчислює результат операції відсікання
• Конструктивна блокова геометрія, метод визначення тривимірних фігур з використанням аналогічних операцій

Література

• Matthew J. Katz, Mark H. Overmars, Micha Sharir. Efficient hidden surface removal for objects with small union size // Computational Geometry (journal). — 1992. — Т. 2, вип. 4. — С. 223–234. — DOI:10.1016/0925-7721(92)90024-M.
• Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, Otfried Schwarzkopf. Algorithms and Applications. — Second Edition. — 2000.
• Jon Louis Bentley, Thomas A. Ottmann. Algorithms for Reporting and Counting Geometric Intersections // IEEE Transactions on Computers. — 1979. — Т. C-28, вип. 9. — С. 643–647.
• Jon Louis Bentley, Derick Wood. An Optimal Worst Case Algorithm for Reporting Intersections of Rectangles // IEEE Transactions on Computers. — 1980. — Т. C-29, вип. 7. — С. 571–577.
• Ulrich Lauther. 18th Design Automation Conference. — 1981. — С. 555–562.
• James A. Wilmore. 18th Design Automation Conference. — 1981. — С. 571–579.
• J. Nievergelt, F. P. Preparata. Plane-Sweep Algorithms for Intersecting Geometric Figures // Communications of the ACM. — 1982. — Т. 25, вип. 10. — С. 739–747. — DOI:10.1145/358656.358681.
• =Thomas Ottmann, Peter Widmayer, and Derick Wood. Computer Vision, Graphics, and Image Processing. — 1985. — Т. 30. — С. 249–268.

Посилання

• UIUC Computational Geometry Pages
• Constructive planar geometry від Дейва Еберлі (Dave Eberly).

Алгоритми та програми

• Михайло Леонов склав порівняння алгоритмів відсікання багатокутників. (англ.)
• Ангус Джонсон склав також порівняння трьох бібліотек відсікання. (англ.)
• Компанія SINED GmbH склала порівняння продуктивності та використання пам'яті трьох алгоритмів відсікання. (англ.)
• Порівняння 5 бібліотек відсікання rogue-modron.blogspot.com (англ.)
• sgCore C++/C# Бібліотека — комерційна бібліотека для 3-вимірних булевих операцій.
• comp.graphics.algorithms FAQ — розв'язування математичних задач із дво- та тривимірними многокутниками.
• gfxpoly Маттіаса Крамма — вільно поширювана бібліотека на C для 2D многокутників (ліцензія BSD).
• Boolean Клааса Голверда — бібліотека на C++ для 2D многокутників.
• Polypack Девіда Кеннісона — бібліотека на Фортрані, заснована на алгоритмі Ватті.
• Clippoly Кламера Шатте — програма відсікання многокутника, написана на C++.
• poly_Boolean Михайла Леонова — бібліотека на C++, що розширює алгоритм Шатта.
• Clipper Ангуса Джонсона — вільно поширювана бібліотека з відкритим кодом (написана на Delphi, C++ і C#), заснована на алгоритмі відсікання Ватті.
• GeoLib — комерційна бібліотека, доступна на C++ та C#.
• GPC Алана Марта — бібліотека «Загальне відсікання многокутника».
• PolygonLib — бібліотеки на C++ та COM для 2D-многокутників (оптимізована для великих множин многокутників, вбудовано просторовий індекс).