Багатократний інтеграл

Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, f(x, y) або f(x, y, z). Інтеграли функцій двох змінних в області R² називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення R³ — потрійними інтегралами:

• подвійний інтеграл:

  $\int \int f(x,y)\;dx\;dy$

• потрійний інтеграл:

  $\int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz$

Визначення

Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає площу області між графіком функції і віссю x, подвійний інтеграл додатної функції двох змінних визначає об'єм області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній системі декартових координат де z = f(x, y)) і площиною, що задає її область визначення. Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати гіпероб'єм багатовимірної функції.

Багатократний інтеграл функції із n змінними: f(x₁, x₂, ..., x_n) по області D зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтегралу в зворотньому порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (крайній правий інтеграл буде розраховуватися в першу чергу). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтегралу або, або в скороченій формі задається змінною біля інтегралу , що знаходиться праворуч від усіх:

$\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$

Геометрична інтерпретація

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних буде інтегруватися

Нехай функція $f\left(x,y\right)$ приймає в області $\ D$ тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }$ чисельно дорівнює об'єму $\ V$ вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові $\ D$ і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні $z=f\left(x,y\right)$.

Математичне визначення

Для n > 1, розглянемо так звану "пів-відкриту" n-вимірну гіперпрямокутну область значень T, визначену наступним чином:

$T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbf {R} ^{n}.$

Розіб'ємо кожен інтервал [a_j, b_j) на скінченну послідовність підінтервалів I_j, що не перекриваються i_jα, де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.

Скінченна кількість підпрямокутників C буде визначатися наступним чином

$C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

і є розбиттям області T; таке що, підпрямокутники C_k не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати T.

Нехай f : T → R є функцією визначеною в області T. Розглянемо розбиття C області T описане вище, так що C є сімейством із m підпрямокутниками C_m і

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

Ми можемо апроксимувати загальний (n + 1)-вимірний об'єм, що обмежує собою n-вимірний гіперпрямокутник T і зверху обмежений n-вимірним графіком функції f за допомогою наступної суми Рімана:

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

де P_k це точка в C_k і m(C_k) є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює C_k.

Діаметр підпрямокутника C_k буде дорівнювати найбільшій довжині інтервала декартовим добутком якого є C_k. Діаметр даного розбиття T визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття C до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників m стає більшою, а міра m(C_k) для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію f називають такою, що має Ріманів інтеграл якщо існує границя

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття T із діаметром δ.

Якщо f інтегрована за Ріманом, то S називають Рімановим інтегралом функції f по області T і позначається наступним чином

$\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$

Часто цей запис скорочують до наступного вигляду

$\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .$

де x позначає n-кортеж (x₁, ... x_n) і dⁿx позначає n-вимірний об'ємний диференціал.

Властивості

Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтегралу є те, що значення інтегралу не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як Теорема Фубіні.

Методи інтегрування

Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні способу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для неперервних функцій, це підтверджується Теоремою Фубіні. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.

Далі наведені найпростіші методи інтегрування:

Інтегрування константної функції

Якщо під інтегралом знаходиться константна функція c, інтеграл буде дорівнювати добутку c на вимір області інтегрування. Якщо c = 1, а область є частиною області R², тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною R³, тоді інтеграл повертає об'єм.

Наприклад. Нехай f(x, y) = 2 і

$D=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}$

в такому випадку

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$,

оскільки із визначення ми маємо наступне:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).$

Використання симетрії

Якщо область інтегрування симетрична відносно початку координат по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є парною по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.

Приклад 1. Розглянемо функцію f(x,y) = 2 sin(x) − 3y³ + 5 що інтегрується по області

$T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

диск із радіусом 1 має центр в початку координат, із включеною межею.

Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:

$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$

Функція 2 sin(x) є парною функцією для змінної x а диск T є симетричним відносно осі y, тому значення першого інтегралу дорівнює 0. Аналогічно, функція 3y³ є парною функцією для y, а T симетрична відносно осі x, і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5π.

Приклад 2. розглянемо функцію f(x, y, z) = x exp(y² + z²), оскільки область інтегрування є сферою із радіусом 2 із центром у початку координат,

$T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.$

"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі x аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.

Заміна змінних

Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або через складну формулу інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.

Приклад 1a. Функція дорівнює f(x, y) = (x − 1)² + √y; якщо застосувати заміну x′ = x − 1, y′ = y так що x = x′ + 1, y = y′ буде одержана нова функція f₂(x, y) = (x′)² + √y.

• Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні (x і y, які були перетворені вище в прикладі).
• диференціали dx і dy трансформуються за допомогою абсолютного значення детермінанта матриці Якобі, що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).

Існує три основні "види" заміни змінних (один для R², два для R³); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.

Полярні координати

Перетворення від декартових до полярних координат.

Для R² якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати трансформування в полярні координати (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки P(x, y) в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в полярній системі координат. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.

Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).$

Приклад 2a. Функцією є f(x, y) = x + y, застосувавши перетворення отримаємо

$f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).$

Приклад 2b. Функцією є f(x, y) = x² + y², в такому випадку маємо:

$f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$

використовуючи тригонометричну тотожність Піфагора.

Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів ρ, φ від початкових x, y.

Приклад перетворення області із декартової системи координат в полярну.

Приклад 2c. Область задається як D = {x² + y² ≤ 4}, це коло радіусом 2; очевидно, що кут який воно покриває це кут усього кола, тому φ змінюється від 0 до 2π, в той час як радіус змінюється від 0 до 2.

Приклад 2d. Область задається як D = {x² + y² ≤ 9, x² + y² ≥ 4, y ≥ 0}, це кругла дуга в додатній відносно осі y півплощині (див. малюнок); φ описує площину із зміною кута ρ в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде таким прямокутником:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.$

Детермінант матриці Якобі для такого перетворення буде таким:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$

який було отримано відповідно до часткових похідних для x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ) в першому стовбці відповідно до ρ і в другому стовпці відповідно до φ, так що диференціали dx dy в цьому перетворенні стали замінені на ρ dρ dφ.

Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .$

φ є дійсним для інтервалу [0, 2π] в той час як ρ, що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.

Приклад 2e. Функцією є f(x, y) = x а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для D ми вже знаємо інтервали для ρ (з 2 до 3) і для φ (з 0 до π). Тепер ми змінюємо функцію:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .$

нарешті, застосуємо формулу інтегрування:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .$

Оскільки інтервали відомі, матимемо

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Циліндричні координати

Циліндричні координати.

В R³ інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою переходу до циліндричних координат; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)$

Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.

Приклад 3a. Регіоном є D = {x² + y² ≤ 9, x² + y² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$

(це буде паралелепіпед, основа якого подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).

Оскільки компонент z не змінюється під час перетворення, диференціали dx dy dz змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на ρ dρ dφ dz.

Врешті-решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.$

Цей метод зручно застосовувати у випадку, коли області є циліндричними або конічними або для областей, де легко виділити інтервал z і перетворити круглу основу і функцію.

Приклад 3b. Функція задана як f(x, y, z) = x² + y² + z а область інтегрування є циліндром: D = {x² + y² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5 }. Перетворення D в циліндричні координати є наступним:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.$

а функція перетворюється на

$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$

Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;$

продовжуючи перетворення формули отримаємо

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .$

Сферичні координати

Сферичні координати.

В R³ деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися переходом до сферичної системи координат; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )$

Точки на осі z не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому θ може змінюватися між значеннями 0 і 2π.

Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.

Приклад 4a. Область задана як D = x² + y² + z² ≤ 16 (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.$

Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$

Диференціали dx dy dz таким чином перетворюються на ρ² sin(φ) dρ dθ dφ.

Це приводить до остаточної формули інтегрування:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична і коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для R³ (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).

$\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Додаткові ρ² і sin φ взяті із Якобіана.

В наступних прикладах ролі φ і θ були замінені навпаки.

Приклад 4b. D є такою ж областю як і в прикладі 4a, а f(x, y, z) = x² + y² + z² є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:

$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},$

ми знаємо інтервали перетвореної області T із D:

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.$

Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,$

і з цього ми отримаємо

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.$

Приклад 4c. Область D це шар із центром в початку координат і радіусом 3a,

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$

а f(x, y, z) = x² + y² - функція інтегрування.

Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область T є очевидними:

$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.$

Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для T будуть наступними

$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};$

інтервал z було отримано за допомогою розділення кулі на дві напівсфери шляхом вирішення нерівності із формули для D (і виконавши пряме перетворення x² + y² у ρ²). Нова функція тоді буде простою ρ². Застосовуючи формулу інтегрування

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\varphi dz$.

Тоді ми отримаємо

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}$

Завдяки переходу в циліндричні координати стало можливим спростити потрійний інтеграл до простого інтегралу з однією змінною.

Приклади

Подвійний інтеграл по прямокутнику

Припустимо, що ми хочемо проінтегрувати функцію багатьох змінних f по області A:

$A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,$

З цього ми записуємо формулювання багатократного інтегралу

$\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy$

Внутрішній інтеграл застосовується першим, інтегруючи відносно змінної x і приймаючи y за константу, так ніби вона не є змінною інтегрування. Результат цього інтегралу, що є функцією яка залежить від лише від змінної y, потім інтегрують по y.

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}$

Тепер інтегруємо результат відносно y.

${\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}$

Іноді, порядок інтегрування можна змінити місцями, тобто, інтегрування спочатку по x потім по y і навпаки дає однаковий результат. Наприклад, виконавши попередні розрахунки змінивши порядок навпаки приведе до того ж результату:

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}$

Умови при яких порядок можна змінювати визначає Теорема Фубіні.

Деякі практичні застосування

Як правило, як і для випадку з однією змінною, багатократний інтеграл можна використовувати для пошуку середнього значення функції в рамках заданої множини. Дана множина D ⊆ Rⁿ і інтегрована функція f по D, середнє значення функції f по області задається наступним чином

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

де m(D) це міра для D.

Крім того, багатократні інтеграли використовуються в багатьох задачах з фізики. Нижче наводяться приклади, які також показують деякі варіації в нотації.

В механіці, момент інерції розраховується як об'ємний інтеграл (потрійний інтеграл) густини зваженої як квадрат відстані від осі:

$I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.$

Гравітаційний потенціал, що пов'язаний із розподіленням маси, що задається мірою Бореля для маси dm в тривимірному евклідовому просторі R³ буде задано як

$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).$

Якщо задана неперервна функція ρ(x), що задає густину розподілення для x, таким чином що dm(x) = ρ(x)d³x, де d³x є Евклідовим елементом об'єму, тоді гравітаційний потенціал дорівнює

$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .$

В електромагнетизмі, Рівняння Максвелла для розрахунку загального магнітного і електричного полів можна записати із використанням багатократного інтегралу. В наведеному прикладі, електричне поле, утворене через розподілення електричних зарядів задається за допомогою об'ємної густини заряду ρ(${\vec {r}}$) що розраховується за допомогою потрійного інтегралу векторної функції:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.$

Це також можна записати як інтеграл, відповідно до мирі із врахуванням знаку, що буде задавати розподілення заряду.

Посилання

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Поняття про подвійний інтеграл // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 458. — 594 с.