Атлас (математика)

Атлас — поняття диференціальної геометрії, що дозволяють ввести гладку структуру на многовиді .

Визначення

Нехай $K$ — числове поле (наприклад $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$), $X$ — топологічний простір.

• Карта — це пара $(U,f)$, де

$U$ — відкрита множина в $X$

$f$ — гомеоморфізм з $U$ у відкриту множину в $K^{n}$

• Якщо області визначення двох карт $\,(U_{1},f_{1})$ і $\,(U_{2},f_{2})$ перетинаються ($U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$), то між множинами $f_{1}^{-1}(U_{2})$ і $f_{2}^{-1}(U_{1})$ є взаємно обернені відображення (гомоморфізми), що називаються відображеннями склеюваннями :

  ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

• Атлас — це множина узгоджених карт $\,\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$, $\alpha \in {\mathcal {A}}$, така, що $\,\{U_{\alpha }\}$ утворює покриття простору $X$. Тут ${\mathcal {A}}$ — деяка множина індексів. При цьому атлас називається гладким (класу $\,C^{k}$) або аналітичним, якщо функції заміни координат $\,f_{\alpha _{1}\,\alpha _{2}}$ для всіх карт гладкі (класу $\,C^{k}$) або аналітичні.

• Два гладкі (аналітичні) атласи називаються узгодженими, якщо їх об'єднання також є гладким (аналітичним) атласом.

Література

• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.