Асимптотично паралельні прямі

У нейтральній або абсолютній геометрії і в геометрії Лобачевського може бути багато прямих, які паралельні даній прямій $R$ і таких, що проходять через точку $P$ за межами цієї прямої. Однак дві паралельні можуть бути ближчими до $R$ , ніж інші прямі (по одній з кожної сторони).

У цьому випадку можна дати інше визначення паралельності для нейтральної геометрії. Якщо є дуже близькі паралельні до даної прямої, їх називають асимптотично паралельними або паралельними до межі.

Для променів відношення асимптотичної паралельності є відношенням еквівалентності, яке включає термінальне відношення еквівалентності.

Асимптотичні паралельні можуть утворювати дві або три сторони асимптотичного трикутника.

Визначення ред.

Промінь Aa є асимптотично паралельним променю Bb, що записується як

Aa|||Bb

Промінь $Aa$ є асимптотично паралельним променю $Bb$ , якщо вони котермінальні або якщо вони лежать на різних прямих, не рівних прямій $AB$ , не перетинаються і будь-який промінь усередині кута $BAa$ перетинає промінь $Bb$ ^[1].

Властивості ред.

Різні прямі, що містять асимптотичні паралельні промені, що не перетинаються.

Доведення ред.

Припустимо, що прямі, які містять різні паралельні промені, перетинаються. За визначенням вони не можуть перетнутися на стороні $AB$ , в якій знаходиться промінь $a$ . Тоді вони повинні перетинатися на стороні $AB$ , яка є протилежною променю $a$ , позначивши цю точку $C$ . Тоді (тут P = прямий кут) $\angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P$ . Суперечність.

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and beyond (вид. Corr. 2nd print.). New York, NY [u.a.]: Springer. ISBN 978-0-387-98650-0.

Література ред.

Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond. — New York, NY [u.a.] : Springer, 2000. — Т. Corr. 2nd print.. — ISBN 978-0-387-98650-0.

[1] Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and beyond (вид. Corr. 2nd print.). New York, NY [u.a.]: Springer. ISBN 978-0-387-98650-0.

[1]