Анізотропна дифузія

В обробці зображень такомп'ютерному баченні, анізотропна дифузія, яка також називається дифузією Перона–Маліка, є методом, який спрямований на зменшення шуму зображення, без видалення при цьому важливих частин вмісту зображення, як правило, країв, лінії або інших даних, які важливі для інтерпретації зображення.^[1]^[2]^[3] Анізотропна дифузія нагадує процес, який створює масштабований простір, де зображення генерує параметризовану сім'ю все більш і більш розмитих зображень, заснованих на дифузійному процесі. Кожне з отриманих зображень в цій сім'ї подане як згортка між зображенням і 2D ізотропним фільтром Гауса, де ширина фільтра збільшується з параметром. Цей дифузійний процес є лінійним і просторово-інваріантним перетворенням вихідного зображення. Анізотропна дифузія є узагальненням цього дифузійного процесу: вона створює сімейство параметризованих зображень, але кожне отримане зображення являє собою поєднання вихідного зображення і фільтру, який залежить від початкового змісту вихідного зображення. Як наслідок, анізотропна дифузія є нелінійною і просторово-варіантною трансформацією вихідного зображення.

У своєму первісному формулюванні, яке представлене Пероном і Маліком^[en] в 1987 році,^[1] просторово-варіантний фільтр - це ізотропія, яка залежить від змісту зображення, так як вона наближається до імпульсної функції поблизу країв та інших структур, які повинні бути збережені в зображенні на різних рівнях в результаті масштабованого простору. Це формулювання Перона і Малік називають анізотропною дифузією, а інші автори також неоднорідною і нелінійною дифузією^[4] або ж дифузією Перона — Маліка^[5]. Більш загальне формулювання дозволяє адаптованому до початкових умов фільтру бути подібним до анізотропних об'єктів лінійної структури, таких як краї або лінії: його орієнтація задається такою структурою, що він витягнутий вздовж конструкції і вузький поперечному перерізі. Такі методи називаються формами-адаптованого згладжування^[6]^[7]. Як наслідок, отримані зображення зберігають лінійні структури і в той же час проводиться згладжування уздовж цих структур. Обидва випадки можуть бути описані за допомогою узагальнення звичайного рівняння дифузії, де коефіцієнт дифузії, замість того, щоб бути постійним скаляром, є функцією позиції зображення і передбачає матричне (або тензорне) значення (див. структурний тензор).

Хоч отриману сім'ю знімків можна охарактеризувати як поєднання оригінального зображення і просторово-варіантних фільтрів, адаптований до початкових умов фільтр і його комбінація із зображенням не повинні бути реалізовані на практиці. Анізотропна дифузія зазвичай реалізовується за допомогою апроксимації узагальненого рівняння дифузії: кожне нове зображення в сім'ї обчислюється за допомогою застосування цього рівняння до попереднього зображення. Отже, анізотропна дифузія являє собою ітераційний процес, в якому відносно простий набір обчислень використовується для обчислення кожного наступного зображення в сім'ї і цей процес продовжується до отримання достатнього ступеня гладкості.

Формальне визначення ред.

Формально, нехай $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ позначає підмножину площини і $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ - сім'я напівтонових зображень. Тоді анізотропна дифузія визначається як

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\Delta I

де $\Delta$ позначає оператор Лапласа, $\nabla$ позначає градієнт, $\mathrm {div} (\dots )$ це дивергенція оператора і $c(x,y,t)$ - коефіцієнт дифузії. $c(x,y,t)$ контролює швидкість дифузії і зазвичай вибирається як функція градієнта зображення, так як це зберігає краї зображення. П'єтро Перона і Джітендра Малік вперше представили ідею анізотропної дифузії в 1990 році і запропонували дві функції для коефіцієнта дифузії:

c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}

і

c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}

константа $K$ визначає чутливість до країв і, як правило, визначається експериментально або ж як функція шуму на зображенні.

Мотивація ред.

Нехай $M$ позначає копію гладких зображень. Тоді дифузійні рівняння, представлені вище, можуть бути інтерпретовані як рівняння градієнтного спуску для мінімізації енергії $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ визначеної як:

E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx

де $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ є дійсною функцією і яка тісно пов'язана з коефіцієнтом дифузії. Тоді для будь-якої фінітної, нескінченно диференційовної тестової функції $h$ , маємо

{\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\&=-\int _{\Omega }\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}

де останній рядок випливає з багатовимірного інтегрування частинами. Через $\nabla E_{I}$ позначимо градієнт $E$ щодо $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ прегільбертового простору оцінений в $I$ . Це дає

\nabla E_{I}=-\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

Таким чином, градієнтний спуск рівняння заданий як

{\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\mathrm {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)

Тоді, взявши $c=g'$ ми отримуємо анізотропне рівняння дифузії.

Регуляризація ред.

У цьому розділі буде обговорюватись регуляризація Перона-Маліка. При такому підході, невідоме скручується з Гауссіаном всередині нелінійності для отримання модифікованих рівнянь Перона-Маліка.

{\frac {\partial I}{\partial t}}=\mathrm {div} \left(c(|DG_{\sigma }*I|)\nabla I\right)

де $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}exp\left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ .

Коректність цього рівняння може бути досягнута шляхом регуляризації, а також за допомогою введення ефекту розмитості, який є основним недоліком регуляризації. Необхідно також мати попередні знання про рівень шуму, оскільки вибір параметра регуляризації залежить від нього.

Застосування ред.

Анізотропна дифузія може бути використана для видалення шуму з цифрових зображень без розмиття країв. З постійним коефіцієнтом дифузії, анізотропне рівняння дифузії зводяться до рівняння теплопровідності, яке еквівалентне Гаусовому розмиттю. Це ідеально підходить для видалення шумів, але і безрозбірно розмиває краї теж. Коли коефіцієнт дифузії є обраний як функція для пошуку границі, як, наприклад, у Перона^[8] і Маліка, отримані рівняння підтримують дифузію (і, отже, згладжування) усередині областей, а також забороняти її вздовж границь. Отже, краї зображення можуть бути збережені під час видалення шуму зображення.

Див. також ред.

Простір масштабів

Примітки ред.

↑ ^а ^б Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision,. с. 16—22.
↑ Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629—639. doi:10.1109/34.56205.
↑ Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. с. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.
↑ Joachim Weickert (July 1997). A Review of Nonlinear Diffusion Filtering. Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. с. 1—28. doi:10.1007/3-540-63167-4.
↑ Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 0-13-085198-1.
↑ Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).
↑ Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection. IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027—2042. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.
↑ http://www.vision.caltech.edu [Архівовано 18 квітня 2022 у Wayback Machine.]

Посилання ред.

Числове розв'язування двовимірних задач адвекції - дифузії на прямокутній області

[Perona-Malik-1987-1] а ^б Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision,. с. 16—22.

[Perona-Malik-1990-2] Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629—639. doi:10.1109/34.56205.

[Sapiro-2001-3] Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. с. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.

[Weickert-review-4] Joachim Weickert (July 1997). A Review of Nonlinear Diffusion Filtering. Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. с. 1—28. doi:10.1007/3-540-63167-4.

[Jähne-Haußecker-2000-5] Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 0-13-085198-1.

[lin94-6] Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (chapter 15).

[AlmLin00-7] Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection. IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027—2042. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.

[8] ttp://www.vision.caltech.edu [Архівовано 18 квітня 2022 у Wayback Machine.]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]