Алгебраїчна незалежність

Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай $L$ - деяке розширення поля $K$. Елементи $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ з коефіцієнтами з поля $K$

$P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0$.

У іншому випадку елементи $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли $L$ — кільце і $K$ — його підкільце.

Приклад

Підмножина $\{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}$ поля дійсних чисел $\mathbb {R}$ не є алгебраїчно незалежною над полем $\mathbb {Q}$, оскільки многочлен $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і $P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0$.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)

Посилання

• Chen, Johnny Algebraically Independent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.