Алгебра над полем

Алгебра над полем — векторний простір, на якому введено білінійне множення узгоджене з структурою векторного простору.

Алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а модулем над деяким кільцем.

Визначення

Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція $A\times A\to A$, що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких $x,y,z\in A,\;a,b\in K$ виконуються рівності:

• $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
• $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$.

Ці три властивості означають, що операція множення є білінійною. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:

Алгебра з одиницею над полем K — кільце з одиницею A, разом з гомоморфізмом кілець з одиницею $f:K\to A$, таким, що $f(K)$ належить центру кільця A (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що A є векторним простором над K з наступною операцією множення на скаляр $\alpha \in K$: $\alpha x=f(\alpha )\cdot x.$

Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.

Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.

Пов'язані визначення

• Гомоморфізм K-алгебр — відображення $f:A\rightarrow B$, для якого виконуються рівності:

$f(\lambda x)=\lambda f(x)$   для всіх   $\lambda \in K,x\in A$

$f(x+y)=f(x)+f(y)$   для всіх   $x,y\in A$

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$   для всіх   $x,y\in A.$

• Підалгебра алгебри над полем K — лінійний підпростір, для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
• Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення ідеалу кільця, це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
• Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів $a\neq 0$ і $b$ рівняння $ax=b$ і $ya=b$ має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є тілом.
• Центр алгебри А — множина елементів $a\in A$, таких що $xa=ax$ для будь-якого елемента $x\in A$.

Приклади

Асоціативні алгебри

• Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Кватерніони є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
• Попередні два приклади є полем і тілом відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має дільників нуля, є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є лінійним перетворенням цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення ядро рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
• Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
• Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
• Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних неперервних функцій, визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Алгебри квадратних матриць і більш загально лінійних операторів на гільбертовому просторі є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
• Групова алгебра $K[G]$ в якій елементи групи $G$ є базисом векторного поля $K[G]$, що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з $G$. На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група $G$.

Неасоціативні алгебри

• Алгебра октоніонів, або чисел Келі.
• Евклідів простір $\mathbb {R} ^{3}$ з операцією векторного добутку, $(\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\times )$, є неасоціативною, антикомутативною $\mathbb {R} ^{3}$-алгеброю розмірності 3 без одиниці.
• Загальні алгебри Лі. Зокрема простір квадратних матриць розмірності n $\left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)$ разом з операцією дужок Лі $[M,N]=MN-NM$ є неасоціативною, некомутативною алгеброю без одиниці.
• Алгебра Йордана.
• Алгебра Мальцева
• Альтернативні алгебри.

Структурні коефіцієнти

Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність $n$, визначити деякий базис $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів $n\times n.$ Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши $n^{3}$ структурних коефіцієнтів $c_{i,j}^{k}$, що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:

$e_{i}\cdot e_{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j}^{k}e_{k}.$

Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.

Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є вільним модулем.

Приклад

Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$, ${\vec {w}}$) відповідна таблиця множення задається як:

	${\vec {u}}$	${\vec {v}}$	${\vec {w}}$
${\vec {u}}$	${\vec {u}}\times {\vec {u}}={\vec {0}}$	${\vec {u}}\times {\vec {v}}={\vec {w}}$	${\vec {u}}\times {\vec {w}}=-{\vec {v}}$
${\vec {v}}$	${\vec {v}}\times {\vec {u}}=-{\vec {w}}$	${\vec {v}}\times {\vec {v}}={\vec {0}}$	${\vec {v}}\times {\vec {w}}={\vec {u}}$
${\vec {w}}$	${\vec {w}}\times {\vec {u}}={\vec {v}}$	${\vec {w}}\times {\vec {v}}=-{\vec {u}}$	${\vec {w}}\times {\vec {w}}={\vec {0}}$

Структурні коефіцієнти визначені як: $c_{1,2}^{3}=1,\;c_{1,3}^{2}=-1,\;c_{2,1}^{3}=-1,\;c_{2,3}^{1}=1,\;c_{3,1}^{2}=1,\;c_{3,2}^{1}=-1,$ всі інші коефіцієнти рівні нулю.

Див. також

• Алгебра над кільцем
• Диференціальна алгебра
• Коалгебра

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0