Аксіома пари

Аксіомою [існування невпорядкованої] пари називається наступне висловлення теорії множин :

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\;\iff \ b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2})$

Аксіому пари можна сформулювати наступним чином: «Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину $~c$, кожний елемент якої $~b$ ідентичний даній множині $~a_{1}$ або даній множині $~a_{2}$».

Інші формулювання аксіоми пари

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;(c=\{b:\;b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2}\}\ )$

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\notin c\;\iff \;b\neq a_{1}\;\land \;b\neq a_{2})$

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;(a_{1}\in c\;\land \;a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\;(b\neq a_{1}\;\land \;b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Примітки

1. Аксіому пари можна вивести зі схеми перетворення

$~\forall a\;\exists d\;\forall c\;(c\in d\;\iff \;\exists b\;(b\in a\;\land \;c=\mathrm {f} (b)\ ))$, якщо припустити $~a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ і вибрати функцію $~\mathrm {f}$ такою, що $~c=\mathrm {f} (b)\;\iff \;(b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність [невпорядкованої] пари. Інакше кажучи, можна довести, що 'аксіома пари' рівносильна висловлюванню

$~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists !c\;\forall b\;(b\in c\iff b=a_{1}\lor b=a_{2})$, що є $~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall c'\;(\forall b\;(b\in c'\iff b=a_{1}\lor b=a_{2})\;\iff c=c')$

Останнє висловлювання дозволяє стверджувати наступне: «З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити тільки одну "невпорядковану пару", тобто таку множину $~c$, кожний элемент $~b$ якої ідентичний даній множині $~a_{1}$ чи даній множині $~a_{2}$.»

3. Із аксіоми пари можна вивести теорему про існування одноелементної множини:

$~\forall a\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\iff b=a)$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)