Адитивна енергія

Адити́вна ене́ргія — чисельна характеристика підмножини групи, що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели Теренс Тао та Ван Ву.

Визначення

Нехай $(G,+)$ — група.

Адитивна енергія множин $A\subset G$ і $B\subset G$ позначається як $E_{+}(A,B)$ і дорівнює кількості розв'язків такого рівняння:

$a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)$

Аналогічно можна визначити мультиплікати́вну ене́ргію (наприклад, у кільці) як кількість $E_{\times }(A,B)$ розв'язків рівняння:

$a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)$

Екстремальні значення

Найменшого значення $E_{+}(A,B)$ досягає, коли всі суми $a+b\ (a\in A,b\in B)$ різні (оскільки тоді рівність виконується тільки за $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$) — наприклад, коли $A=B$ і $A$ — множина різних твірних групи $G$ з якоїсь мінімальної породжувальної множини. Тоді $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2}}$.

Найбільшого значення $E_{+}(A,B)$ досягає, коли $A=B$ і $A$ є підгрупою $G$. У цьому випадку для будь-якого $x\in A$ число розв'язків рівняння $a+b=x\ (a,b\in A)$ дорівнює $|A|$, так що $E_{+}(A,A)=|A|^{3}$.

Відповідно, проміжні величини порядку зростання $E_{+}(A,A)$ між $|A|^{2}$ і $|A|^{3}$ можна розглядати як більший чи менший показник близькості структури $A$ до структури підгрупи. Для деяких груп $G$ визначені обмеження на адитиву енергію дозволяють доводити структурні теореми про існування досить великих підгруп $G$ всередині $A$ (або якоїсь похідної від неї множини) і про вкладаність $A$ (або якоїсь похідної від неї множини) в досить маленькі підгрупи $G$. Обмеження на $G$ для цих теорем пов'язані з показником скруту групи $G$ та окремих її твірних. Однак для циклічних груп та груп без скруту існують аналогічні теореми, які розглядають замість підгруп узагальнені арифметичні прогресії .

$E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)$

$E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}$, де $A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Доведення

Позначимо $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$.

Тоді $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2}}$ і, за нерівністю Коші-Буняковського,

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Для кільця лишків за простим модулем $G={\mathbb {F} }_{p}$ адитивну енергію можна виразити через тригонометричні суми. Позначимо $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$. Тоді

$E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}$

Доведення

Скористаємось нотацією Айверсона та індикаторною тотожністю.

$E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}$

$={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right)}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}$

Зауважимо, що вираз через тригонометричні суми справедливий тільки для адитивної енергії, але не для мультиплікативної, оскільки явно використовує властивості додавання в ${\mathbb {F} }_{p}$.

Застосування

Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у адитивній та арифметичній комбінаториці для аналізу комбінаторних сум та добутків множин $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$, зокрема, для доведення теореми сум-добутків.

Старші енергії

Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію, — за кількістю доданків та за кількістю рівностей:

$E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k}\ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}$

$T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace$

Їх називають старшими енергіями й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергії. Разом з тим, нерівність Гельдера дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.

Для параметра $k$ в $E_{k}$ іноді розглядаються і дійсні, а не лише цілі числа (просто підстановкою в останній вираз).

Див. також

• Теорема сум-добутків
• Структурна теорема Чанг

Література

• Ю. Н. Штейников. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения // Математические заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 4. — С. 606-625.
• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях // Труды Московского математического общества. — 2013. — Vol. 74, iss. 1. — P. 35-73.