Інтерполяційні формули

Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції.

Інтерполяційний поліном $\ P_{n}(x)$ ступеня $\ n$, значення якого в заданих точках $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ збігаються зі значеннями $y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}$ функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.

Інтерполяційна формула Лагранжа

Функція $f(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+\ldots$ може бути інтерпольована на відрізку $[x_{0},x_{n}]$ інтерполяційним поліномом $P_{n}(x)$, записаним у формі Лагранжа:

$f(x)\approx P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},$

Похибка інтерполяції:

$|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).$

У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:

$\|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.$

Інтерполяційна формула Ньютона

Якщо точки $x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}$ розташовані на рівних відстанях $\ (x_{k}=x_{0}+kh)$, поліном можна записати:

$P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}$

(тут $\ x_{0}+th=x$, а $\ \Delta ^{k}$ — різниці k-го порядку: $\ \Delta ^{k}y_{i}=\Delta ^{k-1}y_{i+1}-\Delta ^{k-1}y_{i}$).

Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення $\ y$, що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від $\ x_{0}$. Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень $\ x$, близьких до $\ x_{0}$.

При інтерполяції функцій для значень $\ x$, близьких до $\ x_{k}$, формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).

Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який $k$-й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).

Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:

$P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f_{m-k}\right)$

де $C_{x}^{m}$ — узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.

Інтерполяційна формула Стірлінга

$f(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\mu \delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2!}}\delta ^{2}y_{0}+{\frac {t(t^{2}-1^{2})}{3!}}\mu \delta ^{3}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})}{4!}}\delta ^{4}y_{0}+$

$+{\frac {t(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})}{5!}}\mu \delta ^{5}y_{0}+\cdots +{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})\cdots [t^{2}-(k-1)^{2}]}{(2k)!}}\delta ^{2k}y_{0}$

(про значення символу $\ \mu$ зв'язку центральних різниць $\ \delta ^{m}$ з різницями $\Delta ^{m}$ див. Кінцевих різниць числення)

Застосовується при інтерполяції функцій для значень $\ x$, близьких до одного з середніх вузлів $\ a$; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів $x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{k}$, вважаючи $\ a$ центральним вузлом $\ x_{0}$.

Інтерполяційна формула Бесселя

$f(x_{0}+th)\approx \mu y_{1/2}+{\frac {(t-1/2)}{1!}}\delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\mu \delta ^{2}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}}\delta ^{3}y_{1/2}+$

$+{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}}\mu \delta ^{4}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}}\delta ^{5}y_{1/2}+\cdots +$

$+{\frac {t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}}\delta ^{2k+1}y_{1/2}$

Застосовується при інтерполяції функцій для значень $\ x$, близьких середин $\ a$ між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів $x_{-k},\ \ldots ,\ x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k},x_{k+1}$, і розташовувати їх симетрично щодо $a(x_{0}<a<x_{1}).$

Див. також

• Многочлен Лагранжа
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Література

• Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;