Інтегральний оператор Фредгольма

Інтегра́льний опера́тор Фредгольма — цілком неперервний лінійний інтегральний оператор вигляду

$(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,$

що відображає один простір функцій в інший. Тут $G$ — область в евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$, $K(x,t)$ — функція, задана на декартовому квадраті $G\times G$, звана ядром інтегрального оператора. Для цілком неперервності оператора $A$ на ядро $K(x,y)$ накладаються додаткові обмеження. Найчастіше розглядають неперервні ядра, $L_{2}$-ядра, а також полярні ядра. Інтегральний оператор Фредгольма та його властивості використовують при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма.

Властивості

Лінійність

Інтегральний оператор Фредгольма є лінійним, тобто $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$.

Неперервність

Інтегральний оператор з неперервним на ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ ядром $K(x,y)$, переводить $L_{2}(G)$ в $C({\bar {G}})$ (і, отже, $C({\bar {G}})$ в $C({\bar {G}})$ і $L_{2}(G)$ в $L_{2}(G)$) і обмежений (неперервний), причому

$\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),$

$\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),$

$\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),$

де

$M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.$.

Інтегральний оператор з $L_{2}$-ядром:

$\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty$

переводить $L_{2}(G)$ в $L_{2}(G)$, неперервний і задовольняє оцінці:

$\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.$

Існують умови неперервності інтегральних операторів з $L_{p}$ в $L_{q}$.

Цілком неперервність

Інтегральний оператор із неперервним ядром $K(x,y)$ є цілком неперервним з $L_{2}(G)$ в $C({\bar {G}})$ тобто переводить будь-яку множину, обмежену в $L_{2}(G)$ у множину, передкомпактну в $C({\bar {G}})$. Цілком неперервні оператори чудові тим, що для них справедлива альтернатива Фредгольма. Інтегральний оператор з неперервним ядром є границею послідовності скіняенних операторів із виродженими ядрами. Аналогічні твердження справедливі для інтегрального оператора з $L_{2}$-ядром.

Існують також слабші достатні умови цілком неперервності (компактності) інтегрального оператора з $L_{p}$ в $L_{q}$.

Спряжений оператор

Споряжений оператор до оператора $A$ з $L_{2}$-ядром у гільбертовому просторі $L_{2}(G)$ має вигляд

$(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.$

Якщо $K(x,y)={\overline {K(y,x)}}$, то інтегральний оператор Фредгольма $A$ є самоспряженим.

Обернений оператор

За досить малих значень $|\lambda |$ оператор $I-\lambda A$ (де $I$ — одиничний оператор) має обернений вигляду $I+\lambda R$, де $R$ — інтегральний оператор Фредгольма з ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентою ядра $K(x,y)$.

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Теорія Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Цілком неперервний оператор

Література

• Хведелидзе Б. В. Интегральный оператор // Математическая энциклопедия: [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Владимиров В. С. . Уравнения математической физики. — 4-е изд. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
• Трикоми Ф. . Интегральные уравнения. Пер. с англ. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. . Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — М., 1976.