Теорема Шарковського

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Формулювання теореми

Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:

$3$ ▶ $5$ ▶ $7$ ▶ $9$ ▶ $...$ ▶ $(2n-1)$ ▶ $...$ ▶

▶ $2$·$3$ ▶ $2$·$5$ ▶ $2$·$7$ ▶ $\dots$ ▶ $2$·$(2n-1)$ ▶ $\dots$ ▶

▶ $2^{2}$·$3$ ▶ $2^{2}$·$5$ ▶ $2^{2}$·$7$ ▶ $\dots$ ▶ $2^{2}$·$(2n-1)$ ▶ $\dots$ ▶

$...$

▶ $2^{k}$·$3$ ▶ $2^{k}$·$5$ ▶ $2^{k}$·$7$ ▶ $\dots$ ▶ $2^{k}$·$(2n-1)$ ▶ $\dots$

$\dots$

$\dots$ ▶ $2^{n}$ ▶ $2^{n-1}$ ▶ $2^{n-2}$ ▶ $\dots$ ▶ $2^{1}$ ▶ $1$.

Нехай у неперервної функції на відрізку $f\colon I$ → $I$ є цикл періоду $k$ (тобто існує $x$ такий, що $f^{k}(x)=x$, але $f^{i}(x)$ ≠ $x$, $i<k$, де $f^{k}$ — композиція $k$ функції $f$), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж $k$ в сенсі порядку Шарковського. Найбільшими елементами в порядку Шарковського є непарні числа. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.

Частинний випадок

Будемо казати, що відрізок $I$ покриває відрізок $K$ при неперервному відображенні $f$ якщо $f(K)\subset f(I)$. Будемо позначати це як $I\xrightarrow {f} K$.

Лема 1. Якщо $I\xrightarrow {f} I$, то існує $x_{0}\colon$ $f(x_{0})=x_{0}$. Дане твердження елементарно випливає з теореми про проміжне значення функції. розглянемо функцію

$F(x)=f(x)-x$.

З того, що відрізок покриває себе випливає, що існує значення $x\colon f(x)=0$ і таке значення $y\colon f(y)=1$, тоді

$F(x)=f(x)-x\geq 0$

$F(y)=f(y)-y\leq 0$,

Ілюстрація до леми 2

а отже існує значення $x_{0}$, що $f(x_{0})-x_{0}=0$.

Лема 2. Якщо $I\xrightarrow {f} K$, то існує відрізок $I_{1}$: $f(I_{1})=K$.

Справедливість цієї леми очевидна з рисунку. Нехай тут $I=[a,b]$, $K=[c,d]$. В силу властивостей функцій, неперервних на компакті, завжди можна обрати пару точок $x$ і $y$, як показано на малюнку. Відрізок $[x,y]$ і буде шуканим відрізком $I_{1}$

Лема 3. Нехай для множини відрізків виконується $I_{0}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{2}\xrightarrow {} \dots \xrightarrow {} I_{n}$ тоді існує такий відрізок $J_{1}\subset I_{0}\colon f(J_{1})=I_{n}$.

Доведення. З того, що $I_{0}\xrightarrow {} I_{1}$ випливає, що існує $K_{1}\subset I_{0}\colon f(K_{1})=I_{1}$.

Далі $I_{1}\xrightarrow {} I_{2}$, а значить існує $L_{2}\subset I_{1}\colon f(L_{2})=I_{2}$, отже $K_{1}\xrightarrow {} L_{2}$, а тоді згідно леми 2 існує $K_{2}\subset K_{1}\subset I_{0}\colon f(K_{2})=L_{2}$. Таким чином ця лема доведена для трьох відрізків. Для довільної більшої кількості доведення продовжується за індукцією.

Траєкторія циклу періоду 3

Випадок циклу періоду 3

Доведемо, що існування циклу періоду 3 забезпечує існування циклу будь-якого іншого періоду. Розглянемо траєкторію циклу періоду 3, утворену точками $x$, $y$, $z$, як зображено на рисунку. Ця траєкторія утворює два відрізки $I_{0}$, $I_{1}$. Зауважимо, що це єдиний можливий спосіб утворення циклу періоду 3, з точністю до симетрії.

Неважко бачити, що для даної траєкторії виконується наступне: $I_{0}\xrightarrow {} I_{1}$, оскільки початок $I_{0}$ переходить в початок $I_{1}$, а кінець $I_{0}$ в кінець $I_{1}$. З аналогічних міркувань видно, що $I_{1}\xrightarrow {} I_{0}$ і $I_{1}\xrightarrow {} I_{1}$. Цю ситуацію зручно зобразити за допомогою графу.

Граф накриттів відрізків

Отже можна розглянути ланцюжок відрізків, що накривають один одного:

$I_{0}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} \dots \xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{0}$, де відрізок $I_{1}$ входить $n-1$ раз. Тоді з леми 3 випливає, що існує відрізок $K\subset I_{0}\colon f^{n}(K)=I_{0}$. А це означає, що $K\xrightarrow {f^{n}} K$, а значить, це відображення має нерухому точку: $x_{0}\colon f^{n}(x_{0})=f(x_{0})$ (лема 1). А отже знайдено точку, яка має період $n$ при відображенні $f$. Те, що цей період є найменшим періодом даної точки легко зрозуміти з вигляду ланцюжка накриттів. Ця траєкторія починається у відрізку $I_{0}$ і після цього жодного разу не повертається в цей відрізок.

Цей частинний випадок теореми Шарковського нерідко називають теоремою Лі-Йорка. Американські вчені Лі та Йорк в 1975 році опублікували статтю Period three implies chaos (період три означає хаос). В якій довели, що існування циклу періоду 3 в такій динамічній системі гарантує існування циклу будь-якого періоду. А також, що відрізняє їхню роботу від роботи Шарковського, довели, що в такому випадку динамічна система має ще і хаотичні траєкторії, тобто існує континуум точок, які при ітеруванні відображення відрізку не переходять в себе ні за яку кількість ітерацій. Повне доведення цієї теореми є досить громіздким, із різними способами її доведення можна ознайомитись, наприклад, в цій статті .

Теорема про реалізацію

Другою не менш важливою частиною цієї теоерми є так звана теорема Шарковського про реалізацію. Перша частина теореми Шарковського говорить про те, що якщо в системі є цикл одного періоду, то це гарантує існування цикла й інших періодів. Але вона нічого не каже про те, чи бувають функції з такими періодами, які припускаються в теоремі.

Теорема Шарковського про реалізацію стверджує, що для кожного натурального числа $n$ знайдеться така функція $f$, що вона має точку періоду $n$, але не має жодної точки періоду $k$ ▶ $n$.

Розглянемо приклад функції $F\colon [1,5]\xrightarrow {} [1,5]$, яка має період 5, а значить і всі інші періоди, які менші за 5 в сенсі порядку Шарковського, але не має періоду 3. Покладемо

$F(1)=3,\quad F(2)=5,\quad F(3)=4,\quad F(4)=2,\quad F(5)=1.$

Проміжні значення доповнемо за лінійністю. Тоді

$F^{3}([1,2])=F^{2}([3,5])=F([1,4])=[2,5].$

Отже, на проміжку $[1,2]$ немає нерухомої точки відображення $F^{3}$. Аналогічно два інші відрізка теж не містять нерухомих точок $F^{3}([2,3])=[3,5]$ і $F^{3}([4,5])=[1,4]$. Але бачимо, що $F^{3}([3,4])=[1,5]$, тобто на цьому відрізку може бути точка періоду 3. Нехай $p\in [3,4]$ нерухома точка відображення $F^{3}$. Тоді $F(p)\in [2,4]$. Якщо $F(p)\in [2,3]$ тоді $F^{3}(p)\in [1,2]$, що неможливо, адже $p$ точка періоду 3. Отже $F(p)\in [2,3]$. Аналогічно $F^{2}(p)\in [2,4]$. Якщо $F^{2}(p)\in [2,3]$ то $F^{3}(p)\in [4,5]$, що теж неможливо. Отже $F^{2}(p)\in [3,4]$. Таким чином, вся траєкторія циклу періоду 3 лежить на відрізку $[3,4]$. Зазначимо тепер, що на даному проміжку функція є лінійною $F(x)=10-2x$. А така функція може мати лише одну нерухому точку — це точка $x=10/3$ і це нерухома точка відображення $F$, а значить не точка періоду 3.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Олександра Шарковського

Посилання

• Теорема Шарковського на MathWorld [Архівовано 1 грудня 2008 у Wayback Machine.]
• Теорема Шарковського на PlanetMath

Література

1. Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения [Архівовано 21 липня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111 (рос.)
2. Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
3. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
4. Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
5. Katok A, Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press; 1995.
6. Strogatz, S.H. (2015). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429492563