Теорема Гільберта про базис

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо $R\,$ — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення

Нехай $F\,$ — ідеал в $R[x]\,$ (ми тут вважатимемо $R\,$ комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а $p\,$ множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що $p\,$ — ідеал.

Справді, якщо $a\,$ і $b\,$ — елементи $p\,$, то $a\,$ і $b\,$ є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з $F\,$ — $f(x)=ax^{n}+...$ і $g(x)=bx^{m}+...$. Якщо, наприклад, $m\geq n$, то $a+b\,$ є старшим коефіцієнтом многочлена $x^{m-n}f(x)+g(x)\in F$. Якщо $a\,$ є старшим коефіцієнтом$f(x)\,$ то $ar\,$ є старшим коефіцієнтом $rf(x)\in F$ для будь-якого елементу $r\,$. Таким чином,$p\,$ — ідеал, а оскільки $R\,$ — кільце Нетер, то $p\,$ породжується деякими елементами $a_{1},a_{2},...,a_{n}\,$, старшими коефіцієнтами многочленів $f_{1},f_{2},...,f_{n}\in F$. Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний $r\,$. Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний $r\,$ (якщо він рівний $m\leq r$, то можна зробити його таким помноживши на $x^{r-m}$.

Аналогічно доводиться, що $p_{k}$ — множина старших коефіцієнтів многочленів з $F\,$, степінь яких $k\leq r$ (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами $a_{k1},a_{k2},...,a_{kn_{k}}\,$. Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів $f_{k1},f_{k2},...,f_{kn_{k}}\in F$ степеня $k\,$

Доведемо, що ці многочлени $f_{1},f_{2},...,f_{n},f_{11},f_{12},...,f_{1n_{1}},\ldots ,f_{r-1,1},f_{r-1,2},...,f_{r-1,n_{r-1}}\in F$ породжують ідеал $F\,$. Нехай$f(x)=ax^{s}+...\,$ — який-небудь многочлен ідеалу $F\,$, за визначенням $a\in p$. Якщо його степінь $s\geq r$ то оскільки $a\,$ по доведеному є лінійною комбінацією $a=r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+...+r_{n}a_{n}\,$ старших членів многочленів $f_{1},f_{2},...,f_{n}\in F$ степеня $r\,$, то ми одержимо, що $f(x)-r_{1}x^{s-r}f_{1}+r_{2}x^{s-r}f_{2}+...+r_{n}x^{s-r}f_{n}$ буде многочленом степеня, меншого, ніж $s\,$, що також належить ідеалу $F\,$. Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого $r\,$.

Для многочлена степеня $k\leq r$ застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів $f_{k1},f_{k2},...,f_{kn_{k}}\in F$ старші коефіцієнти яких породжують ідеал $p_{k}\,$. Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)