Гелікоїд

Геліко́їд (від грец. ἕλιξ — «витий» і εἶδος — «подібний») — гвинтова мінімальна поверхня, яка описується параметричними співвідношеннями:

$\ x=u\cos v$

$\ y=u\sin v$

$\ z=hv$

і утворюється рухом прямої, що обертається навколо перпендикулярної до неї осі і одночасно поступально рухається в напряму цієї осі, причому швидкості цих рухів пропорційні.

Властивості

• Геликоїд є
  • мінімальною поверхнею
  • лінійчатою поверхнею.

Анімація показує перетворення гелікоїда в катеноїд.

• Невелику ділянку гелікоїда можна ізометрично (тобто без стиску і розтягу) гладко продеформувати в ділянку катеноїда.

Параметричне рівняння такої деформації задається системою

$x(u,v)=\cos \theta \,\operatorname {sh} v\,\sin u+\sin \theta \,\operatorname {ch} v\,\cos u$

$y(u,v)=-\cos \theta \,\operatorname {sh} v\,\cos u+\sin \theta \,\operatorname {ch} v\,\sin u$

$z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,$

для $(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )$, з параметром деформації $-\pi <\theta \leqslant \pi$,

де $\theta =\pi$ відповідає правому гелікоїду, $\theta =\pm \pi /2$ відповідає катеноїду та $\theta =0$ відповідає лівому гелікоїду.

Див. також

• Поверхня Діні
• Прямий коноїд
• Лінійчата поверхня

Посилання

• Weisstein, Eric W. Helicoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Інтерактивний 3D гелікоїд (з кодом)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Helicoid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Інтерактивний 3D гелікоїд, на основі WebGL [Архівовано 31 травня 2017 у Wayback Machine.]